Lang Polynomdivision, Purplemath

Purplemath

Wenn Sie ein Polynom von etwas komplizierter als nur eine einfache monomial Teilen (dh durch etwas komplizierter ist als ein Ein-Begriff Polynom), dann müssen Sie eine andere Methode zur Vereinfachung verwenden. Diese Methode wird als „lange Polynomdivision“ genannt, und es funktioniert genauso wie die lange (numerische) Division Sie in der Grundschule, mit der Ausnahme, dass taten zurück jetzt bist du mit Variablen zu teilen.







Dividieren x 2 - 9x - 10 durch x + 1

Denken Sie zurück an, wenn Sie lange Division mit einfachen alten Zahlen taten. Sie würden eine Zahl (die so genannten Teiler) angegeben werden, die Sie in einer anderen Nummer teilen mußten (die so genannte Dividende). Sie legen die Lang Division Symbol oben, eingesetzt, um die zwei Zahlen, wo sie hingehörten, und begann dann Vermutungen, zu machen, was auf dem Symbol gehen sollte.

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Und Sie haben nicht die ganze Antwort erraten sofort; Stattdessen begann man auf dem „Front“ Teil arbeiten (das heißt, der größere Stellenwert Teil) der Zahl, die Sie Dividieren wurden. Zum Beispiel, wenn Sie 1137 von 82 wurden geteilt und an der „8“ aussehen würde und die „10“ und denke, dass wahrscheinlich eine „1“ auf der Oberseite gehen sollte, über dem „11“, weil 8 einmal passt in 11.

Lange Abteilung für Polynome arbeitet in der gleichen Art und Weise:

Zuerst werde ich die Teilung, setzen die Dividende (das Ding ist unterteilt in) im Inneren und den Divisor (das Ding macht die Teilungs) außen und nach links ein:

Im Moment werde ich das alles hinter den führenden Terme ignorieren. Genau wie bei numerischer langer Teilung, werde ich nur an dem Vorder x des Divisor aussehen und die führenden x 2 der Dividende.

Wenn ich die führenden x 2 im Innern durch die führenden x vor dividieren, was würde ich bekommen? Ich würde eine x erhalten. Also werde ich eine x auf dem Teilungs Symbol setzen, direkt über der x 2 innen:

Jetzt werde ich das x oben nehmen, und ich werde es durch den Divisor multiplizieren, x + 1. Zuerst werde ich die x (oben) multiplizieren mit den x (auf der „Seite“) und tragen die resultierende x 2 unten, direkt unterhalb der x 2 von der Dividende setzen:

Dann werde ich die x (oben) durch die 1 (auf der „Seite“) multiplizieren, und trage die 1x darunter, direkt unterhalb der -9x der Dividende setzen:

Dann werde ich die horizontale ziehen „gleich“ bar unter, was ich habe gerade unterhalb der Dividende setzen, also kann ich die Subtraktion tun.

Um die Polynome zu subtrahieren, ich zunächst die Zeichen in der zweiten Zeile ändern.







und dann füge ich nach unten. Der erste Term (die x-2) wird zunichte machen (durch Design), während die -9x - 1x wird -10x:

Ich muß daran erinnern, dass letztes Glied zu tragen nach unten (das heißt, den Begriff „zehn subtrahieren“) von der Dividende:

An diesem Punkt beginnen zu ignorieren ich die Dividende, und statt in der unteren Zeile meiner langen Abteilung arbeiten.

Ich schaue auf die x aus dem Divisor und dem neuen Leitbegriff, der -10x. in der unteren Zeile der Division. Wenn ich teilen den -10x durch die x. Ich würde mit einem -10 enden. so werde ich, dass auf der Oberseite setzen, direkt über dem -9x:

Jetzt werde ich die -10 (oben) von der führenden x multiplizieren (auf der „Seite“) und trägt das -10x auf den Boden, direkt unter der -10x der vorherigen Zeile:

und ich werde die -10 (oben) durch die 1 (auf der „Seite“), vermehren und die -10 bis unten tragen, direkt unter dem vorhergehenden Zeile des -10:

Ich werde eine andere horizontale „gleich“ bar zeichnen, und die Zeichen ändern auf alle Begriffe in der untersten Zeile:

Ich füge dann nach unten:

Durch Design, strich die 10x ‚s ab. Durch Zufall, die 10 ‚s abgebrochen aus, auch. Dann ist meine Antwort, aus der ganzen Spitze der Division Symbol ist:

Da der Rest auf der Teilung war über Null (das heißt, da es nichts übrig war), die Division „kam auch“. Wenn Sie regelmäßig Division mit Zahlen und der Teilung zu tun „kommt auch aus“, so bedeutet dies, dass die Zahl, die Sie geteilt durch einen Faktor der Anzahl ist Sie zu teilen.

Zum Beispiel, wenn Sie 50 durch 10 die Antwort teilen wird ein schöner sauberer „5“ sein, mit einem Null Rest, weil 10 um einen Faktor von 50 ist.

Im Fall der oben Polynomdivision der Null Rest sagt uns, dass x + 1 ist ein Faktor von x 2 - 9x - 10., die Sie durch Factoring der ursprüngliche quadratische Dividende bestätigen können, x 2 - 9x - 10. Jedes Mal, wenn Sie erhalten eine Null-Rest, ist der Divisor ein Faktor der Dividende.

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By the way, zur Kenntnis nehmen, wie ich herausgefunden, was auf dem Lang Division Symbol in der Ausübung oben zu setzen: divided ich die Leitterm von was auch immer mir in wurde Dividieren durch die Leitterm von dem, was ich durch war geteilt wird. Unabhängig davon, ob eine bestimmte Abteilung einen von Null Rest haben wird, wird diese Methode immer gibt den richtigen Wert für das, was Sie am Anfang benötigen. Auf diese Weise ist polynomdivision einfacher als numerische lange Teilung, wo Sie hatte, was oben ging zu erraten-n-Check, um herauszufinden.

Beginnen wir mit einer Teilung ein weiteres Beispiel tun, die „selbst“ herauskommt, so können wir unser Ergebnis überprüfen, indem Sie die Faktorisierung und Löschung zu tun.

Diese Fraktion-Reduktion kann auf zwei Arten geschehen: ich die quadratische Faktor und dann den gemeinsamen Faktor annullieren, wie folgt aus:

Aber was, wenn ich nicht weiß, wie Faktor (oder wenn ich „meine Arbeit zeigen“ für die lange Polynomdivision auf einem Test)? Wie bisher werde ich die lange Teilung durch die Zusammenarbeit mit dem führenden Bezug auf den Divisor und die Dividende beginnen.

Der führende Term der Dividend X 2 und die führende Term des Divisor x. Dividieren x 2 durch x gibt mir x. so dass das, was ich oben setzen, direkt über die x 2 in der Dividende:

Dann multiplizieren die I x oben auf den Divisor x + 7. und legte die resultierende x 2 + 7 unterhalb der Dividende:

Dann habe ich die horizontale ziehen „gleich“ bar, die Zeichen ändern, fügen Sie nach unten und tragen die +14 hinunter, immer 2x + 14 unter die „gleich“ bar:

Die Aufteilung des führenden 2x von dem führenden xs Teiler gibt mir 2. das ist so, was ich auf dem Teilungs Symbol setzen, direkt über dem 9x der Dividende:

Dann multiplizieren ich diese 2 oben gegen die x + 7. und das Ergebnis, 2x + 14. unter:

Dann habe ich die Zeichen ändern, und fügen Sie nach unten, einen Null-Rest bekommen:

Die Antwort auf die Teilung ist der Quotient, das Polynom über den oberen Rand des Lang Division Symbol zu sein:







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