Lösen linearer Gleichungen - Ein kompletter Kurs in Algebra
A N Gleichung ist eine algebraische Erklärung, in der das Verb = „gleich“. Eine Gleichung beinhaltet eine unbekannte Zahl, in der Regel genannt x. Hier ist ein einfaches Beispiel:
"Einige Zahl, plus 4, gleich 10."
Wir sagen, dass eine Gleichung hat zwei Seiten. die linke Seite, x + 4, und die rechte Seite, 10.
Da x erscheint in der ersten Potenz. wir nennen das eine lineare Gleichung. Eine lineare Gleichung wird auch eine Gleichung ersten Grades bezeichnet.
Der Grad der jede Gleichung ist der höchste Exponent, der auf der unbekannten Nummer erscheint. Eine Gleichung des ersten Grades wird linear genannt, weil, wie wir später sehen viel wird, ihr Graph ist eine Gerade.
Die Gleichung - diese Aussage - wird wahr nur dann, wenn die unbekannten einen bestimmten Wert hat. was wir die Lösung der Gleichung nennen.
Die Lösung dieser Gleichung ist offensichtlich 6:
6 ist der einzige Wert von x, für die die Aussage „x + 4 = 10“ wahr sein wird. Wir sagen, dass x = 6 erfüllt die Gleichung.
Nun Algebra hängt davon ab, wie die Dinge aussehen. Soweit wie die Dinge aussehen, dann werden wir wissen, dass wir eine Gleichung gelöst haben, wenn wir x auf der linken Seite isoliert haben.
Warum der linken Seite? Denn das ist, wie wir lesen, von links nach rechts. "X ist gleich."
In der Standardform einer linearen Gleichung - ax + b = 0 - x erscheint auf der linken Seite.
In der Tat sind wir darüber, für jede Gleichung zu sehen, die wie folgt aussieht:
Das Gesetz der Umkehrungen
Es gibt zwei Paare von inversen Operationen. Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division.
Formal. eine Gleichung lösen wir müssen das Unbekannte isolieren. die typischerweise x. auf der einen Seite der Gleichung.
Wir müssen a, b erhalten. c auf die andere Seite, so dass x ist allein.
Die Frage ist:
Wie können wir eine Reihe von einer Seite einer Gleichung verschieben
zu den anderen?
Durch sie auf der anderen Seite mit dem Inversbetrieb zu schreiben.
Das ist das Gesetz von Umkehrungen. Es ergibt sich aus den beiden Geschäfts Lektion 6.
Es ist mit der arithmetischen Beziehung zwischen Addition und Subtraktion zu halten:
10-6 = 4 bedeutet 10 = 4 + 6;
In jedem Fall wurde ein auf der anderen Seite durch die inverse Operation verschoben. Es wird möglich sein, jede lineare Gleichung zu lösen, indem eine oder mehrere dieser Regeln Anwendung ..
Wenn die Operationen Addition oder Subtraktion (Formen 1 und 2), nennen wir das Transponieren.
+ eine geht auf die andere Seite als - ein.
- eine geht auf die andere Seite als ein +.
Transponieren ist eines der charakteristischsten Operationen der Algebra, und es wird angenommen, dass die Bedeutung des Wortes Algebra zu sein. Das ist arabischen Ursprungs. (Arabische Mathematiker gelernt Algebra in Indien, von wo aus sie es in Europa eingeführt.) Transponieren der Technik derjenigen, die tatsächlich Algebra in Wissenschaft und Mathematik verwenden - weil es geschickt ist. Und wenn wir schon zu sehen sind, hält es die klare, logische Folge von Anweisungen. Darüber hinaus betont es, dass Sie mit Ihren Augen Algebra zu tun. Wenn du siehst
dann sieht man sofort, dass + a geht auf die andere Seite als -a:
Zuerst werden Sie nie, dass in jedem Kalkül Text.
Und nachdem die Ergebnisse eine ausreichende Anzahl von Malen beobachtet, wird der Schüler zu sehen, dass die Wirkung + a auf der anderen Seite als -a umzusetzen ist. (Lektion 6) Daher sollte der Schüler einfach lernen, umsetzen!
weil subtrahiert wir von beiden Seiten ein - in Ordnung. Es sollte nicht notwendig sein, um tatsächlich auf beiden Seiten schreiben -a.
Eine logische Folge von Anweisungen
In einem algebraischen Satz ist das Verb typischerweise die Gleichheitszeichen =.
Dieser Satz - diese Aussage - logischerweise andere Aussagen impliziert. Lassen Sie uns die logische Abfolge folgen, die die Endabrechnung führt, was die Lösung ist.
Die ursprüngliche Gleichung (1) ist „transformiert“, indem man zuerst die Begriffe (Lektion 1) umgesetzt wird. Statement (1) impliziert Aussage (2).
Diese Aussage wird dann durch Dividieren durch eine transformierte. Statement (2) impliziert Anweisung (3), die die Lösung.
So lösen wir eine Gleichung es durch Transformation - Änderung seiner Form - Anweisung für Anweisung, Zeile für Zeile nach den Regeln der Algebra, bis schließlich x auf der linken Seite isoliert ist. Das ist, wie Bücher über Mathematik geschrieben (aber leider nicht Bücher, die Algebra beibringen!). Jede Zeile ist eine eigene lesbare Anweisung, die oben von der Linie folgt - ohne Kreuzungen aus.
Mit anderen Worten: Was ist eine Berechnung? Es ist eine diskrete Transformation von Symbolen. In der Arithmetik wir "19 + 5" in "24" verwandeln. In der Algebra verwandeln wir "x + a = b" in "x = b - a."
Problem 1. Schreiben Sie die logische Folge von Anweisungen, die diese Gleichung für x lösen:
Um die Antwort zu sehen, übergeben Sie mit der Maus von links nach rechts
über den farbigen Bereich.
Zur Deckung der Antwort wieder, klicken Sie auf „Aktualisieren“ ( „Neu laden“).
Haben das Problem selbst zuerst!
Erstens transponieren die Bedingungen. Zeile 2).
Es ist nicht notwendig, den Begriff 0 auf der rechten Seite zu schreiben.
Dann teilt mit dem Koeffizienten von x.
Problem 2. Schreiben Sie die logische Folge von Anweisungen, die diese Gleichung für x lösen:
Lösen Sie Problem 5. für x. 2x + 1 = 0
Das Gleichung, nebenbei bemerkt, ist in der Standardform. nämlich ax + b = 0 ist.
Jedes dieser Probleme illustriert tun Algebra mit Ihren Augen. Der Student soll die Lösung sofort sehen. In dem obigen Beispiel, sollten Sie, dass b sehen auf der anderen Seite als -b gehen. und dass eine wird unterteilen.
Das ist Mann Algebra.
Nun, wenn das Produkt von zwei Zahlen 0 ist, dann ist mindestens eine von ihnen muss 0 sein (Lektion 5) Daher ist jede Gleichung mit dieser Form hat die Lösung,
Das könnten wir formal lösen, natürlich, durch durch eine Teilung.
Lösen Sie Problem 8. für x.
Aufgabe 9. Schreiben Sie die Folge von Anweisungen, die diese Gleichung lösen:
Wenn wir von der Linie gehen (1) an der Leitung (2), bleibt -x auf der linken Seite. Denn, sind die Bedingungen in der Leitung (1) 6 und -X.
Wir haben „gelöst“ die Gleichung, wenn wir x getrennt haben - nicht -x - auf der linken Seite. Daher gehen wir von der Linie (3) an der Leitung (4) durch die Zeichen auf beiden Seiten zu verändern. (Lektion 6.)
Alternativ könnten wir haben, indem Sie auf der linken Seite zu ändern alle Zeichen sofort beseitigt -x:
-9 + 6 = -3.
Lösen Sie Problem 10. für x.
Lösen Sie Problem 11. für x:
4 - (2x - 1)
-11 - 5
Lösen Sie Problem 12 für x:
Transponieren gegen den Austausch von Seiten
Wir können dies leicht lösen - in einer Linie - einfach durch x nach links umgesetzt werden, und was ist auf der linken Seite nach rechts:
In diesem Beispiel + x ist auf der rechten Seite. Da wir + x auf der linken Seite wollen, können wir das durch den Austausch von Seiten erreichen:
Hinweis: Wenn wir Seiten austauschen, verändern keine Anzeichen.
Bei c Umsetzung. die Lösung leicht folgt:
Lösen Sie Problem 13. für x: