Trefoil Knot_1
Knoten, Kleeblattknoten
Die Kleeblattknoten
Der Kleeblattknoten ist die einfachste nicht-triviale Knoten. Beginnen mit einem Dreieck und fügen zu jeder Seite einen Kreisbogen. So ist die Form hat drei Blätter oder drei Folien, wie die lateinische Herkunft des Wortes „Kleeblatt“ vorgeschlagen. Doch dies ist nur eine 2-dimensionale Form; wir brauchen drei Dimensionen zu verwenden, um es zu einem Knoten zu drehen. Beginnen Sie an den Kreisbogen unterhalb der Basis des Dreiecks und bewegt gegen den Uhrzeigersinn, nach rechts und nach oben, bis Sie die unteren rechten Ecke des Dreiecks erreichen. Übergeht diese Linie und bewegen sich auf die rechte Seite des Dreiecks auf. Wenn Sie die Spitze erreichen, fahren Sie unter dieser Linie und PROCEDE um den linken Kreisbogen. Durchlauf über die nächste Zeile folgt der Basis des Dreiecks, passiert unter folgen dem rechten Kreisbogen nach oben, übergeht, führt die linke Seite des Dreiecks nach unten, vorbei unter und werden wieder zu starten. Die Kreuzungen liefen über, unter, über, unter, über und unter. Versuchen Sie, diese Form mit einem Stück Schnur - Verschmelzen der beiden Enden zusammen natürlich. Einige Experimente überzeugen Sie dies ist ein wahrer Knoten; Sie können es nicht langsam bewegen und einen Kreis bilden.
Anderer n-Gon
Versuchen Sie, die gleiche Sache mit einem Quadrat. Legen Sie vier Kreisbögen an den vier Seiten, und lassen Sie die Zeichenfolge laufen über, unter, über, unter - im Wechsel. Das Ergebnis sind zwei getrennte, miteinander verflochten Saiten. Dies entspricht einer 8 mit einer Schleife durch beide Löcher verläuft. Charakterisieren Knoten ist schwer genug, ohne das Problem zu mehreren miteinander verflochten Schleifen zu verallgemeinern, so werde ich diesen Fall setzen beiseite.
Wenn n ungerade ist, ein regelmäßiges n-Eck mit Kreisbögen, und alternierenden Durchgänge, definiert einen Knoten. Proving diese Knoten sind nicht trivial, und verschieden voneinander sind, ist eine Aufgabe, die vor uns bleibt.
Zurück zu dem Kleeblattknoten, und folgen zwei Wegen gleichzeitig. Beginnen an einem Punkt in dem unteren Bogen, und ein Punkt in der Basis des Dreiecks und folgen beide im Gegenuhrzeigersinn Pfad. Der Kreisbogen bewegt sich nach oben über die Basis des Dreiecks zu passieren, die aus dem Weg nach unten bewegt. Mit anderen Worten, die beiden threadss Twist umeinander. Wie sie von der linken unteren Ecke des Dreiecks zu dessen Scheitelpunkt zu bewegen, drehen sie eine weitere 180 Grad, die Kreuzung zu ändern. Die nächste Etappe der Reise führt eine andere Wendung. schließlich wieder in sie, um 180 Grad aus der Phase zu beginnen. Vor diesem Hintergrund kann der Kleeblattknoten auf dem Torus gezogen werden. Es ist eine Kurve mit konstanter Steigung. Die Saite läuft rund um die Donut zweimal, während um das Rohr dreimal winden. Das Verhältnis beträgt 3 bis 2 oder 3/2, wenn Sie es vorziehen. Der Kleeblattknoten ist ein 3/2 Torusknoten.
Unter Verwendung der gleichen Argumentation, der Knoten auf der Grundlage des Fünfecks (mit Kreisbögen) ist ein 5/2 Torusknoten. Es dreht sich um das Rohr 5 Mal während des Torus zweimal umrunden. Gleichwertig, einmal um den Torus führt eine Drehung von 5/2.
Der n / 1 Knoten ist trivial. Sei c der Kreis sein, der durch das Zentrum des Torus verläuft, und homotope die Spirale nach innen, auf den Kreis.
Der 1 / n Knoten ist auch trivial, wenn der homotopy nicht so geradlinig ist. Für große n kann einige der Spiralen zusammen gesehen schließen werden, um die Spitze des Donut läuft. Dies ähnelt dem Brenner auf einem Elektroherd. Lassen q an der Unterseite des Torus ein Punkt auf dem Weg ist, und strecken q in einen Bogen xy, die Kurven nach oben um den Boden des Röhrchens. Diese stopft die Spiralen zusammen. alle bald die Spiralen auf der linken Seite, mit x und y die n Wendeln, wie die beiden Leitungen abgrenzt, dass der Brenner auf dem Herd zuzuführen. Der Bogen xy geht fast den ganzen Weg um das Rohr, vorbei darunter. Jetzt - um den Torus verwerfen und den Knoten in 3 Raum verlassen. Sei y den ganzen Weg um die Spirale verlaufen, entlang des Bogens xy ziehen. Nach y um alle n Spiralen verfolgt hat, ist es zurück zu x, und das Ergebnis ist ein Kreis im Raum. Dies ist eine triviale Knoten.