Übergeordnete Funktionen und Transformationen - She Loves Math
Dieser Abschnitt umfasst:
Hinweise zu Ende Verhalten. Um das Ende Verhalten einer Funktion zu bekommen, schauen wir nur auf den kleinsten und größten Werten von x. und sehen, welche Art und Weise die y los ist. Nicht alle Funktionen haben Ende Verhalten definiert; zum Beispiel diejenigen, die hin und her mit den y-Werten gehen und nie nach unten gehen Weg nach oben oder Art und Weise wirklich nicht End-Verhalten ( „periodische Funktionen“ genannt).
Die meiste Zeit, unser End-Verhalten sieht ungefähr so aus: \ (\ display \ BeginX \ to - \ infty \ text \, y \ zu \\ x \ to \ infty \ text \, \, \, y \ zu ? \ end \), und wir haben in der y-Teil zu füllen. So das Ende Verhalten für eine Linie mit einer positiven Steigung ist: \ (\ BeginX \ to - \ infty \ Texte \ y \ to - \ \\ infty x \ to \ infty \ text \, \, \, y \ to \ infty \ end \).
Es gibt ein paar Ausnahmen; beispielsweise manchmal beginnt der x bei 0 (wie im Rest-Funktion), haben wir nicht den negativen Teil des x Ende Verhalten. Auch wenn x beginnt sehr nahe bei Null (wie in der Log-Funktion), zeigen wir, dass x von der positiven Seite (rechts) von 0 beginnt (und die y geht nach unten); Wir zeigen dies durch \ (\ display x \ to ^> \ text \, y \ zu - \ infty \).
Sie werden wahrscheinlich einige „beliebte“ Mutter Funktionen studieren und mit diesen zusammenarbeiten, um zu lernen, wie Funktionen zu verwandeln - wie sie sich zu bewegen. Wir nennen diese Grundfunktionen „Eltern“ Funktionen, da sie die einfachste Form dieser Art von Funktion sind, das heißt, sie so nah sind, wie sie auf den Ursprung \ bekommen kann (\ left (\ right) \).
Die untenstehende Tabelle enthält einige grundlegende Mutter Funktionen, die Sie kennen sollten. Ich habe auch die Ankerpunkte. oder kritische Punkte. die Punkte, mit denen die übergeordneten Funktion grafisch darzustellen.
Wenn in der Gleichung der bewegten Funktion suchen. Allerdings müssen wir vorsichtig sein.
Es gibt mehrere Möglichkeiten Transformationen von Eltern Funktionen auszuführen; Ich mag t-Charts verwenden. da sie arbeiten konsequent mit je Funktion.
Vertikal Transformations
Hier sind die Regeln und Beispiele, wenn Funktionen transformiert werden auf der „Außenseite“ (man beachte, dass die y-Werte sind betroffen). Die t-Diagramme enthalten, die Punkte (geordneter Paare) der ursprünglichen Elternfunktionen, und auch die transformiert oder verschoben Punkte.
Beachten Sie, dass die ersten beiden Transformationen Übersetzungen sind. die dritte ist eine Dilatation. und die letzte ist ein Spiegelbild.
Horizontal Transformations
(I sind nicht die Absolutwertfunktion für die horizontale Flip, da es nur die gleiche Funktion sein!)
Beachten Sie, dass die ersten beiden Transformationen Übersetzungen sind. die dritte ist eine Dilatation. und die letzte ist ein Spiegelbild.
Die meisten Probleme werden Sie gemischte Transformationen bekommen beinhalten. oder mehrere Transformationen, und wir müssen über den Auftrag kümmern, in denen wir die Transformationen durchführen.
Es ist in der Regel keine Rolle, ob wir die x Änderungen oder die y Änderungen zuerst zu machen, aber in der x ‚s und y‚s, müssen wir die Transformationen in der folgenden Reihenfolge durchzuführen. (Beachten Sie, dass diese Art der ähnlich ist, in der Reihenfolge mit PEMDAS (Klammern, Exponenten, Multiplikation / Division und Addition Subtraktion).
Wenn diese Regeln durchführen, müssen die Koeffizienten der Innenseite x 1 sein; zum Beispiel müssten wir \ (y = \ right)> \ right)> ^> \) anstelle von \ (y = \ right)> ^> \) (von Factoring) haben. Wenn Sie nicht das es auf diese Weise lernen, siehe unten WICHTIGEN HINWEIS.
Hier ist die Reihenfolge:
- Führen Sie über die Achsen Flipping ersten (negativen Vorzeichen).
- Führen Dehnen und Schrumpfen nächstes (Multiplikation und Division).
- Führen Sie horizontale und vertikale Verschiebungen letzte (Addition und Subtraktion).
Aber wir können die Schritte tun, 1 und 2 zusammen (Reihenfolge keine Rolle spielt eigentlich), da wir von den ersten beiden Schritte als denken können „negative Strecke.“
Beachten Sie wieder, dass, da wir keine x haben „von selbst“ (Koeffizient von 1) auf der Innenseite, müssen wir es auf diese Weise zu erhalten, indem Factoring! Zum Beispiel würden wir \ ändern müssen (y = \ rechts)> ^> \ text< to >y = \ right)> \ rechts)> ^> \).
Lassen Sie uns versuchen, diese „kompliziert“ Gleichung graphisch darzustellen, und ich werde Ihnen zeigen, wie einfach es ist mit einem T-Diagramm zu tun ist:
(Beachten Sie, dass für dieses Beispiel könnten wir die \ bewegen (^> \) nach außen eine vertikale Strecke von 12 zu bekommen, aber wir können das nicht für viele Funktionen.)
Wir müssen zuerst die x selbst auf der Innenseite von Factoring zu bekommen. so können wir die horizontalen Übersetzungen durchführen. Dies ist, was wir am Ende mit:
So sind wir mit der Funktion \ (f (x) = ^> \) beginnen. Wenn wir schauen, was wir auf der Außenseite sind zu tun, was quadriert wird, was die \ ist (\ display \ left (\ right)> \ right) \), wir spiegeln es (das Minuszeichen), Stretching es um einen Faktor von 3. und Zugabe von 10 (10 Verschiebung nach oben). Dies sind die Dinge, die wir vertikal tun. oder zur y.
Denken Sie auch daran, dass wir die Multiplikation oder Division zunächst mit unseren Punkten immer zu tun haben, und dann wird das Addieren und Subtrahieren (Art wie PEMDAS).
Hinweis: Sie können Mischtransformationen in Form \ (g \ left (x \ right) = a \ cdot f \ left (> \ right) \ left (\ rechts)> \ rechts) sehen + k \), oder mit einem Koordinatenregel \ (\ left (\ rechts) \ links \ (x + h, \, \, ay + k> \ right) \), wobei a die vertikale Strecke ist, b ist die horizontale Ausdehnung, h die horizontalen Verschiebung nach rechts. und k ist die vertikale Verschiebung nach oben. Unsere Transformation \ (g \ links (x \ rechts) = - 3f \ links (> \ rechts) \ left (\ rechts)> \ rechts) +10 \), oder unter Verwendung von Koordinaten, \ (\ boldsymbol \ right) \ to \ left (\ rechts) >> \).
Hier ist die t-Diagramm mit der ursprünglichen Funktion, und dann die Transformationen an den Außenseiten. Jetzt können wir die äußeren Punkte (Punkte, die nicht durchgestrichen werden) Grafik die Grafik der Transformation zu erhalten:
Hinweis. Da es sich um eine Parabel. wir auch die Transformation könnten grafisch dargestellt durch (vom Scheitel Form) zu bemerken, dass der Scheitelpunkt \ (\ left (\ right) \) ist, wie wir hier zu quadratics Abschnitt in der Einleitung taten. Dann wird durch die \ bewegen (^> \) nach außen mit einer vertikalen Ausdehnung von 12 zu machen, könnten wir gehen (und zurück) 1 und 12 nach unten von der Spitze andere Punkte zu bekommen. Cool!
Beachten Sie, dass diese Transformation die ursprüngliche Funktion nimmt, dreht es um die y-Achse. führt eine horizontale Strecke durch 2 bewegt es rechts um 1 und dann um 3.
Denken Sie daran, wenn Sie Probleme haben, die Grafik aus den transformierten geordneten Paaren zeichnen, nur nimmt mehr Punkte aus dem ursprünglichen Diagramm, um den neuen Karte!
Funktionale Notation Transformation Mit Algebra
Lassen Sie uns sagen, dass wir eine „Funktion Notation“ Transformation verwenden möchten, ein Elternteil oder Nicht-Mutter Gleichung zu verwandeln. Wir können dies tun, ohne ein T-Diagramm mit. jedoch durch Substitution und Algebra.
Zum Beispiel, wenn wir wollen, \ (f \ left (x \ right) = ^> + 4 \) unter Verwendung der Transformation \ (\ display -2f \ left (\ rechts) 3 \), können wir einfach ersetzen „verwandeln x - 1” für ‚x‘ in der ursprünglichen Gleichung, multipliziert mit -2. und dann 3 hinzuzufügen.
Zum Beispiel: \ (\ display -2f \ left (\ rechts) + 3 = -2 \ left (\ rechts) >> ^> + 4> \ rechts) +3 \) \ (\ display = -2 \ links ( ^> - 2x + 1 + 4> \ rechts) + 3 = -2 ^> + 4x-7 \).
Wir haben dieses Verfahren zu helfen, eine weise definierte Funktion hier zu verwandeln.
Weitere Beispiele für Mixed Transformations:
Hier sind ein paar Beispiele (unter Verwendung von t-Diagramme), mit verschiedenen übergeordneten Funktionen.
Auch die letzte Art der Funktion ist eine rationale Funktion, die in dem Rational-Funktionen Abschnitt diskutiert werden.
Hier ist eine gemischte Transformation mit der GreatestInteger Funktion (manchmal auch die Bodenfunktion). Beachten Sie, wie wir Intervalle verwenden können, als die x-Werte die transformierte Funktion leichter zu zeichnen:
Sie könnten eine transformierte Gleichung zu schreiben aufgefordert werden, geben einen Graphen. Eine Menge Zeit, können Sie einfach durch sagen, es zu betrachten, aber manchmal muss man einen Punkt oder zwei verwenden. Und Sie müssen vorsichtig sein und Ihre Arbeit überprüfen, da die Reihenfolge der Transformationen Materie kann.
Das zweite Beispiel wurde hier in dem Solving quadratics gefunden durch Factoring und den Platz Abschnitt abschließen; werden die zuletzt in dem Exponentialfunktionen Abschnitt abgebildet werden.
Wir werden eine transformierte Gleichung von einem absoluten Wert Graph in dem Absolutwert Abschnitt weiter unten finden:
Ich möchte den Prozess wissen, wodurch Sie Punkte, und Sie wissen, die allgemeinen Transformationen wie Sie sein werden, das heißt, wie diese Probleme in umgekehrter Richtung zu tun.
Hier ist ein Beispiel mit der Antwort. Gegeben Originalpunkte für f (x) sind (-10,2), (-5,8), (0,2), (2,5) und (7,5) und die transformierten Punkte (-7, -3 ), (-2,9), (3, -3), (5,3) und (10,3).
Die Antwort ist die neue Funktion h (x) = 2f (x-3) -7. Was ist eine systematische Art und Weise, dies zu tun?
f (x) = x - 5. Schreiben der Funktionsregel für g (x), die sich nach oben f (x) übersetzt zwei Einheiten ist.
Geben Sie Ihre Antwort in Abhängigkeit Regel für g (x), wie folgt: g (x) = 14x - 12, wie kann ich das tun?
Danke für's schreiben! Für dieses Problem habe ich g (x) = f (x) + 2. Wenn Sie eine Funktion auf zwei Einheiten zu verschieben, fügen Sie 2 bis y, also g (x) wäre g (x) = x - 5 + 2 oder g (x) = x - 3. Ist das sinnvoll? Lisa
Für das erste Problem, da die 2 auf der Außenseite ist, Ihr Lehrer wollte wahrscheinlich „eine vertikale Strecke von 2“. Für das zweite Problem, müssen Sie „vertikale Kompression von 1/3“ hinzuzufügen. Für das dritte Problem, da die 5 auf der Innenseite ist, wäre es eine „horizontale Kompression von 1/5“ sein. Macht das Sinn?
Ich muss mit diesem Problem helfen:
Die übergeordnete Funktion, f (x) = | x |, hat sich in g verwandelt (x) = ¼ | x-6 | +10. Beschreibt die Transformation von f (x). (In der richtigen Reihenfolge).
Danke für's schreiben! Die Transformationen auf der y die Absolutwertfunktion um einen Faktor von 4 (oder strecken um 1/4) zu schrumpfen und fügen 10. Die Transformation auf der x der Grafik 6 Einheiten nach rechts zu bewegen. wäre die Reihenfolge der Graph nach rechts bewegen, die y schrumpfen, und dann 10 fügen dem y. Ist das sinnvoll? Lisa
Ich verstehe, dass Transformationen in PEMDAS getan werden, aber mein Lehrbuch hat die folgenden Beispiele, die dies zu widersprechen scheinen:
1. f (x) = 3 ^ (3X-5); die gegebene Lösung ist, 5-Einheiten direkt an einem horizontalen Schrumpf durch den Faktor 1/3, gefolgt zu übersetzen.
2. h (x) = 3 ^ [3 (x-5)]; die gegebene Lösung ist eine vertikale Schrumpfung um einen Faktor von 1/3 von einer Übersetzung gefolgt 5 Einheiten rechts.
Jede Hilfe wäre sehr geschätzt.
Bryan,
Danke für's schreiben! Sie haben ein ein großes Geheimnis für mich gelöst! Ja, Ihr Buch ist richtig. Wenn Sie die 3 nehmen nicht aus (wie es 3 (x - 5/3), wie ich vorschlagen), dann sind Sie auf der rechten Seite zuerst bewegen, und um 1/3 der horizontalen Schrumpf tun. Ich rate den Koeffizienten 1 der x zu machen, wie ich mit 3 tun (x - 5/3), so dass Sie PEMDAS folgen können. Aber jetzt verstehe ich, warum manche sagen, es Ihre Art zu tun - und ich habe eine Notiz in meiner Web-Seite hinzugefügt. VIELEN DANK. Lisa (ist das sinnvoll?)
Schön! Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort.
Vielen Dank für diese zusammen setzen. Sehr hilfreich.
Eine Sache, nur so ist mir klar, sagt sich die Gleichung y = -2sqrt (-3x + 9) -5. Solange ich die -3 Faktor, um es y zu machen = -2sqrt (-3 (x-3)) - 5, dann ist es egal, in welcher Reihenfolge ich schreibe Reflexionen und Strecken / schrumpfen, nur, dass die Übersetzungen letzte?
So kann ich die Reihenfolge schreiben, wie:
reflektiert x-Achse, y-Achse reflektiert, vertikale Strecke durch 2, horizontal Schrumpf von 1/3, 3 rechts, 5 nach unten
und dies würde die gleiche wie zu sagen, zum Beispiel sein,
horizontal Schrumpf von 1/3, reflektiert y-Achse, während der X-Achse, vertikale Dehnung von 2, 3 rechts, 5 nach unten.
Mit anderen Worten, vorausgesetzt, ich ausklammern wie ich, die ersten vier Transformationen ich geschrieben habe, können in beliebiger Reihenfolge geschrieben werden, so stellen Sie sicher, halten die beiden Übersetzungen zu setzen?
wooww fantastisch ist diese gute Informationen hehe dankt Ihnen dafür ist, Ich mag die Post hehe schön ya subhanallah
Danke für's schreiben! Mathway ist mehr wie ein Programm Probleme geben und die Schritte zu sehen. Ich würde schauen in Wolfram Alpha - und es ist auch eine kostenlose App! Ich denke, Matlab könnte ein anderes Programm zur Eingabe sein. Ich hoffe, das hilft! Lisa
Wenn Sie auf die Grafik suchen und versuchen, die Funktion zu schreiben, wie Sie wissen, ob, wenn die Erweiterung a oder b beeinflusst? Ich sehe in der Regel, dass die Standard-Funktion für die Suche nach einem verwendet wird.
Hey, ich habe eine Frage so, wenn ich versuchen würde, die übergeordnete Funktion sqrt x-2 finden 4 die übergeordnete Funktion einfach ist sqrt x richtig?
Doch viele Studenten in diesem Jahr eine Petition, dass sie wollte, dass ich dies lehren, und ich war schließlich überzeugt. Es hat sich nehmen einige Zeit für sie vorzubereiten und ich spürte die Verantwortung und Anliegen der „odd“ kleinen Fehler macht.
Vielen Dank ... Ich hoffe, dass alle Ihre Seiten, da dies so detailliert sind und ich kann mir nicht vorstellen, wie lange es dauern muss eine solche Ausgaben kostenlosen Service zu bieten ..
Sie sagen, dass ein Lehrer nicht nach einer Person ... sondern Generationen zu kommen ... Ich glaube, Sie sicherlich tun, dass
Kann ich überprüfen, nur unten, wenn das Protokoll auf dieser Seite sollte „links“ 8 statt „richtig“ lesen 8?
Liebe Lisa, ich muss die Transformationen der quadratischen beschreiben, wenn auf der übergeordneten Funktion verglichen. Glauben Sie, Sie helfen könnte?
(X) = x2 - 8x + 9
f (x) = (x2 - 8x + 16) - 9 - 16
f (x) = (x - 4) 2-25
Danke für's schreiben! Diese Funktion würde die neue Ecke bei (4, 25) wäre also nach rechts 4 und ab 25 bewegt werden. Ist das sinnvoll? Lisa
Hallo,
Ich habe einen Auftrag, wo wir für eine Funktion, um eine Gleichung zu schreiben, die durch ein paar lila Punkte geht. Gibt es eine Möglichkeit Ihnen helfen können?
Danke für's schreiben! Sie haben diese korrekt - aber der erste Teil des zweiten Terms nur integrieren (1/2) ln (x ^ 2 + 1) - Sie brauchen nicht trig einzuführen. Ist das sinnvoll? Lisa