Abteilung (Mathematik)
20 ÷ 5 = 4, da 20 Äpfel enthalten fünf Äpfel viermal. Das ist ein Beispiel der Teilung als quotition nicht als Partition. Man kann auch sagen, dass 20 ÷ 5 = 4, da, wenn 20 Äpfel in 5 gleiche Sätze von Äpfeln unterteilt sind, dann gibt 4 in jedem solchen Satz ist. Das ist Teilung als Partition nicht als quotition.
Division ist eine der vier Grundoperationen der Arithmetik. die anderen sind zusätzlich. Subtraktion. und Multiplikation. Die Aufteilung der zwei natürlichen Zahlen ist der Prozess der Berechnung der Anzahl der Male einer Anzahl ineinander enthalten ist. [1]: 7 beispielsweise in dem Bild auf der rechten Seite, werden die 20 Äpfel in Gruppen von fünf Äpfel geteilt, und gibt es vier Gruppen, was bedeutet, daß fünf innerhalb 20 viermal enthalten sein oder 20 ÷ 5 = 4. Abteilung kann auch als Prozess gedacht werden, um einen Bruchteil der Auswertung. und fraktionierte Notation (a / b und a /b) wird üblicherweise zur Darstellung der Division verwendet wird. [2]
Abteilung kann entweder als quotition oder als Trennwand eingesehen werden. In quotition, 20 ÷ 5 bedeutet die Anzahl von 5s, die in der Trennwand 20 zu erhalten, hinzugefügt werden müssen, 20 ÷ 5 bedeutet, um die Größe von jedem von 5 Teilen, in denen eine Reihe von der Größe 20 ist geteilt.
Division ist die Umkehrung der Multiplikation; wenn a × b = c. dann a = c ÷ b. solange b nicht Null ist. Division durch Null ist für die reellen Zahlen und die meisten anderen Kontexten nicht definiert, [3]: 246, denn wenn b = 0 ist dann eine nicht von b und c abgeleitet werden. wie dann c wird immer gleich Null, unabhängig davon ein. In einigen Kontexten Division durch Null kann, obwohl in begrenztem Umfang definiert werden und Grenzen Teilung einer reellen Zahl beteiligt, wie es Null definiert annähert. [A] [2] [4]
Neben Äpfeln teilen, können Teilung auf andere physikalische und abstrakte Objekte angewendet werden. Division in mehreren Zusammenhängen, wie für die reellen und komplexen Zahlen und für abstraktere Kontexten wie für Vektorräume und Felder definiert.
Division wird oft in der Algebra und Wissenschaft gezeigt, indem die Dividende des Divisors mit einer horizontalen Linie platziert, auch genannt einen Bruchstrich. zwischen ihnen. Zum Beispiel kann ein durch b geteilt wird geschrieben
Dies kann laut werden, wie „a dividiert durch b“ ausgelesen „einer von b“ oder „a über b“. Eine Einteilung auszudrücken alle auf einer Linie ist, die Dividende (oder Zähler) zu schreiben, dann einen Schrägstrich. dann der Divisor (oder Nenner), wie folgt aus:
Ein Tipp Variation auf halbem Weg zwischen diesen beiden Formen verwendet eine solidus (Fraktion slash), sondern erhöht die Dividende und senkt den Divisor:
Jede dieser Formen kann verwendet werden, um eine Fraktion anzuzeigen. Eine Fraktion, ist eine Division Ausdruck, wo sowohl Dividend und Divisor ganze Zahlen sind (typischerweise der Zähler und der Nenner bezeichnet wird), und es gibt keine Auswirkungen, daß die Teilung weiter ausgewertet werden müssen. Eine zweite Möglichkeit der Division zu zeigen, ist es, die obelus (oder Divisionszeichen) zu verwenden, häufig in der Arithmetik, die auf diese Weise:
Diese Form ist selten, außer in elementarer Arithmetik. ISO 80000-2 -9,6 heißt es sollte nicht verwendet werden. Die obelus wird auch allein zu repräsentieren die Divisionsoperation selbst, wie zum Beispiel als ein Etikett auf einem Schlüssel eines Rechners verwendet.
In einigen Nicht-Englisch sprechenden Kulturen „a durch b geteilt“ wird eine schriftliche. b. Diese Schreibweise wurde im Jahr 1631 von William Oughtred in seinem Clavis Mathematicae und später popularisiert von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt. [6] im englischen Sprachgebrauch wird jedoch der Darm beschränkt das damit verbundene Konzept der Verhältnisse zum Ausdruck zu bringen (dann „a bis b ist“).
In den Grundklassen einiger Länder, die Notation b) a
a> oder b) a ¯ >> verwendet, um ein durch B geteilt zu bezeichnen. insbesondere wenn lange Teilung diskutiert; in ähnliche Weise, die gemeinhin in Lateinamerika verwendet, b) ein _ >> für kurze Teilung (wie auf dieser Seite in einem Beispiel gezeigt). [Bearbeiten] Diese Schreibweise zuerst von Michael Stifel in Arithmetica integra eingeführt wurde. 1544 veröffentlicht [6]
Manuelle Methoden bearbeiten
Division wird oft durch den Begriff der „Aufteilung“ eine Reihe von Objekten eingeführt, zum Beispiel einen Haufen Süßigkeiten, in eine Anzahl von gleichen Teilen. Verteilen der Objekte zu einem Zeitpunkt mehr in jeder Runde der auf jeden Abschnitt zu teilen führt zu der Idee der „Chunking“, das heißt die Division durch wiederholte Subtraktion.
Eine Person kann Division mit einem Abakus berechnen, indem wiederholt die Dividende auf dem Abakus platzieren und dann den Divisor subtrahiert den Offset jeder Ziffer in der Folge, die Anzahl der Unterteilungen möglich, bei jedem Offset zu zählen.
Eine Person kann Logarithmentafeln zu teilen zwei Zahlen, durch Subtraktion der beiden Zahlen Logarithmen verwendet, dann den Antilogarithmus des Ergebnisses aufzuzublicken.
Mit dem Computer oder mit Computerunterstützung bearbeiten
Moderne Computer Division durch Methoden berechnen, die schneller sind als lange Teilung: siehe Divisions-Algorithmus.
In der modularen Arithmetik. Einige Zahlen haben eine multiplikative Inverse bezüglich des Modulus. Wir können in einem solchen Fall die Division durch Multiplikation berechnen. Dieser Ansatz ist sinnvoll, in Computern, die nicht über eine schnelle Teilung Anweisung haben.
Division ist rechts distributive über Addition und Subtraktion. Das bedeutet:
in der gleichen Weise wie bei der Multiplikation (a + b) = a × c × c + b × c. Aber Teilung ist nicht links distributive, das heißt wir haben
Wenn es mehrere Divisionen in Folge die Reihenfolge der Bedienung von links nach rechts geht [7] [8]:
Die Division mit Rest ist die mathematische Formulierung des Ergebnisses der gewöhnlichen Prozess der Teilung der ganzen Zahlen. Es behauptet, dass zwei ganzen Zahlen angegeben, ein. die Dividende. und B. die Divisor. so dass b ≠ 0, gibt es eindeutige Zahlen q. der Quotient. und r. Der restliche Teil, so daß a = bq + r und 0 ≤ r < | b |, where | b | denotes the absolute value of b .
Division von ganzen Zahlen ist nicht geschlossen. Neben Division durch Null nicht definiert ist, ist der Quotient keine Ganzzahl ist, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors. Zum Beispiel, 26 nicht um 11 gibt eine ganze Zahl geteilt werden. Ein solcher Fall verwendet eine von fünf Ansätze:
Dividieren ganze Zahlen in einem Computerprogramm erfordert besondere Sorgfalt. Einige Programmiersprachen. wie C. treat ganzzahlige Teilung wie bei 5 oben, so ist die Antwort eine ganze Zahl ist. Andere Sprachen wie MATLAB und jedes Computer-Algebra-System geben eine rationale Zahl als Antwort, wie im Fall 3 oben. Diese Sprachen auch Funktionen zur Verfügung stellen, die Ergebnisse der anderen Fälle zu bekommen, entweder direkt oder aus dem Ergebnis des Falles 3.
Teilbarkeit Regeln können manchmal verwendet werden, um schnell festzustellen, ob eine ganze Zahl in eine andere genau teilt.
Rationale Zahlen bearbeiten
Das Ergebnis von zwei rationalen Zahlen Dividieren ist eine weitere rationale Zahl, wenn der Divisor nicht 0 ist die Teilung der beiden rationalen Zahlen p / q und r / s kann berechnet werden als
Division von zwei reellen Zahlen Ergebnisse in einer anderen reelle Zahl, wenn der Divisor nicht 0. Es ist definiert eine solche / b = c, wenn und nur wenn a = cb und b ≠ 0.
Division von einer beliebigen Anzahl von Null (wobei der Divisor Null) ist nicht definiert. Dies liegt daran, Null durch eine endliche Zahl multipliziert immer in einem Produkt von Null ergibt. Eintritt eines solchen Ausdrucks in den meisten Rechenmaschinen erzeugt eine Fehlermeldung.
Dividieren zweier komplexer Zahlen ergibt sich eine andere komplexe Zahl, wenn der Divisor nicht 0 ist, die das Konjugat des Nenners gefunden wird:
Abteilung für komplexe Zahlen in polarer Form ausgedrückt ist einfacher als die obige Definition:
Man kann die Divisionsoperation für Polynome in einer Variablen über ein Feld definieren. Dann wird, wie im Fall von ganzen Zahlen, hat man einen Rest. Siehe euklidische Division von Polynomen. und für handgeschriebene Berechnung, polynomdivision oder synthetische Division.
Linke und rechte Abteilung bearbeiten
Da die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Man kann auch eine linke Abteilung definieren oder sogenannte Backslash-Division als \ B = A -1 B. Für diese gut definiert ist, B -1 Bedarf nicht existiert, jedoch A -1 existiert müssen. Um Verwirrung zu vermeiden, Teilung, wie definiert durch A / B = AB -1 manchmal richtige Abteilung oder Schrägstrich-Abteilung in diesem Zusammenhang genannt.
Beachten Sie, dass links und rechts mit der Division auf diese Weise definiert sind, A / (BC) ist im allgemeinen nicht dasselbe wie (A / B) / C und noch ist (AB) \ C das gleiche wie A \ (B \ C). aber A / (BC) = (A / C) / B und (AB) \ C = B \ (A \ C).
Pseudo-Inverse bearbeiten
Um Probleme zu vermeiden, wenn A 1 und / oder B -1 nicht vorhanden ist, Division kann auch als Multiplikation mit der Pseudo-Inverse definiert werden. das heißt A / B = AB + und A \ B = A + B, wobei A + und B + die Pseudoinverse von A und B bezeichnen.
In der abstrakten Algebra. ein Magma mit Binäroperation * gegeben (die nominell Multiplikation bezeichnet werden könnte), linker Teilung von a durch b (A \ b geschrieben) wird typischerweise als Lösung x die Gleichung a * x = b definiert ist. wenn diese vorhanden ist, und ist einzigartig. In ähnlicher Weise rechtse Teilung b von einem (geschrieben b / a) ist die Lösung y die Gleichung y * a = b. Abteilung in diesem Sinne erfordert keine * keine besonderen Eigenschaften (wie Kommutativität, Assoziativität, oder ein neutrales Element).
Die Ableitung des Quotienten aus beiden Funktionen wird durch die Quotientenregel gegeben: