Der Differenzenquotient Der Brücke zwischen Algebra (Slope) und Calculus (dem Differential)
Einer der Eckpfeiler der Infinitesimalrechnung ist der Unterschied Quotient. Der Differenzenquotient - zusammen mit Grenzen - ermöglicht die regelmäßige alte Steigung Formel zu nehmen, die man verwendete, um die Steigung der Linien in der Algebra-Klasse zu berechnen, und es für den Zahnstein Aufgabe verwenden, um die Steigung zu berechnen (oder Derivat) eine Kurve. So funktioniert das.
Im folgenden Beispiel möchten Sie auf der Parabel die Steigung an einem Punkt zu finden.
Um die Steigung zu berechnen, müssen Sie zwei Punkte in dieser Formel stopfen. Für eine Linie ist, so einfach. Wählen Sie einfach zwei beliebige Punkte auf der Linie und stecken Sie sie in.
Sie können die Linie gezogen Tangente an die Kurve an (2, 4) zu sehen, und weil die Steigung der Tangente gleich die Steigung der Parabel ist (2, 4), alles, was Sie brauchen, ist die Steigung der Tangente Linie. Aber Sie wissen nicht, die Gleichung der Tangente, so dass Sie nicht den zweiten Punkt - zusätzlich zu (2, 4) -, dass Sie für die Steigung Formel benötigen.
Hier ist, wie die Erfinder der Infinitesimalrechnung, um dieses Hindernis bekam.
Die obige Abbildung ist der Graph von y = x 2 mit einer Tangentenlinie und einer Sekante. Es zeigt die Tangentenlinie wieder und eine Sekante an die Parabel (2, 4) sich schneidende und bei (10, 100).
Eine Sekante Linie ist eine Linie, die eine Kurve an zwei Punkten schneidet. Das ist ein bisschen stark vereinfacht, aber es wird tun.
Die Steigung dieser Sekante wird durch die Steigung Formel gegeben:
Sie können sehen, dass diese Sekantengeraden ziemlich viel steiler als die Tangente ist, und somit die Steigung der Sekante, 12, ist höher als die Neigung, die Sie suchen.
Nun noch einen Punkt bei (6, 36) hinzufügen und einer anderen Sekante zieht, dass unter Verwendung von Punkt und (2, 4) wieder. Siehe Abbildung oben.
Berechnen der Steigung dieser zweiten Sekante:
Sie können sehen, dass die Steigung dieser Sekante eine bessere Annäherung der Steigung der Tangente ist als die Steigung des ersten Sekante war.
Nun, sich vorstellen, was passieren würde, wenn Sie den Punkt, an (6, 36) packte und schob sie nach unten die Parabel in Richtung (2, 4), die Sekantengeraden zusammen mit ihm ziehen. Können Sie sehen, dass so bekommt der Punkt näher und näher an (2, 4), erhält die Sekante zur Tangente näher und näher, und dass die Steigung so diesen Sekante rückt näher und näher an die Steigung der Tangente?
So können Sie die Steigung der Tangente, wenn man die Grenze der Steigung dieser bewegenden secant nehmen.
Also hier ist die Grenze benötigen Sie:
Sehen Sie, was zu dieser Grenze passiert, wenn man in drei weiteren Punkten auf der Parabel stecken, die näher und näher an (2, 4):
Wenn der Punkt (2,01, 4,0401) gleitet, ist die Steigung 4,01
Wenn der Punkt (2,001, 4,004001) gleitet, ist die Steigung 4.001
Sicher sieht aus wie die Steigung in Richtung 4 geleitet.
Wie bei allen Grenzproblemen, die Variable in diesem Problem der Flucht. nähert sich aber nie bekommt tatsächlich auf Null. Wenn es auf Null bekam - was passieren würde, wenn Sie den Punkt geschoben Sie entlang der Parabel packte, bis sie tatsächlich auf der Spitze war (2, 4) - Sie würden eine Steigung von 0/0 haben, die nicht definiert ist. Aber natürlich, das ist genau die Steigung Sie wollen - die Steigung der Linie, wenn der Punkt landet oben auf (2, 4). Hierin liegt die Schönheit des Grenzprozesses.
Und die Steigung der Tangente ist - Sie ahnen es - die Ableitung.
Die Ableitung einer Funktion, f (x), an einem gewissen Anzahl x = c. geschrieben als f‘(c) ist die Steigung der Tangente an f an C gezogen.
Einen Blick auf die folgende Figur, die zeigt, wie eine Begrenzung der Steigung der Tangentenlinie erzeugt an (2, 4).
Dadurch könnte die Mathe gibt Ihnen, endlich, die Steigung der Tangente an (2, 4):
So ist die Steigung 4. (übrigens, es ist ein bedeutungsloser Zufall, dass die Steigung an (2, 4) geschieht, das gleiche wie das y-Koordinate des Punktes zu sein.)