Was ist die Bedeutung des Derivats Ein Ansatz zur Infinitesimalrechnung
Die Ableitung von f (x) = 2x - 5
C ALCULUS WIRD MIT SACHEN besorgt darüber, dass bei einer konstanten Rate nicht ändern. Die Werte der Funktion aufgerufen das Derivat
wird die Veränderungsrate des Wandels sein.
Jetzt, da wir x betrachten die unabhängige Variable sein und y die abhängige, dann jede Änderung öx im Wert von x. wird in einer Änderung & Delta; y in der y-Wert zur Folge haben. In einer geraden Linie, die Änderungsrate - so viele Einheiten von y für jede Einheit von x - konstant ist, und die Steigung der Linie bezeichnet.
Die Steigung einer geraden Linie ist diese Nummer:
Änderung in y -Coördinate
Änderung in x -Coördinate
Eine gerade Linie weist eine und nur eine Steigung.
Wenn x Zeit, beispielsweise repräsentiert und Y Abstand, dann ein
geraden Liniendiagramm, das sie angibt, bezieht sich konstante Geschwindigkeit. 45 Meilen pro Stunde, sagen - in jedem Augenblick der Zeit.
Die Steigung einer Tangente an eine Kurve
Calculus jedoch mit Veränderungsraten betroffen, die nicht konstant sind.
Eine Tangente ist eine gerade Linie, die gerade eine Kurve berührt. Ein Sekante ist eine gerade Linie, die eine Kurve schneidet. Daher betrachten wir die Sekante, die die Kurve in den Punkten P schneidet und Q. Dann ist die Steigung dieser Sekante ist
Aber noch einmal, fragt die Frage Kalkül ist: Wie ist die Funktion genau auf x1 ändern.
Was ist die Steigung der Tangente an die Kurve in P?
Wir können jedoch nicht bewerten genau an P - weil öy und öx würden dann beide 0 sein, und der Wert wäre völlig unklar.
Deshalb werden wir immer kürzeren Abständen öx betrachten. die in einer Folge von Sekanten führen -
-- eine Folge von Pisten. Und wir werden die Tangente an P zu sein die Grenze dieser Sequenz Pisten definieren.
Das Hang, diese Grenze, wird der Wert dessen, was wir die Ableitung nennen.
Es sei y = eine stetige Funktion f (x) sein. und lassen Sie die coördinates eines festen Punkt P auf der Kurve (x. f (x)). (Thema 4 von Precalculus.) Es sei x jetzt um einen Betrag öx ändern. Dann werden die neuen x -Coördinate ist x + öx.
Es ist die x -Coördinate von Q auf dem Graphen.
Aber wenn der Wert von x ändert, ergibt sich eine Veränderung öy
in dem Wert von y. das heißt, in dem Wert von f (x). Sein neuer Wert f (x + öx). die Coördinates von Q (x + & Delta; x. f (x + & Delta; x)).
Hier. Dann ist die Definition der Neigung der Tangente an P:
Die Steigung der Tangente an P
ist die Grenze der Änderung der Funktion (Zähler)
durch die Änderung in den unabhängigen Variablen geteilt
wie diese Änderung gegen 0.
Da öx - nicht x - die Variable ist, die 0 annähert, bleibt x konstant, und diese Grenze ist eine Funktion von x. Da es aus f (x) abgeleitet wird, nennen wir es die abgeleitete Funktion oder die Ableitung von f (x). Erinnern uns, dass er abgeleitet wurde von f (x), wir bezeichnen sie mit f '(x) - "f-prime von x"
-- wird der Quotient Newton genannt. oder der Differenzenquotient. Die Berechnung und Vereinfachung ist es eine grundlegende Aufgabe in der Differentialrechnung.
Auch hier ist der Differenzenquotient eine Funktion von & Delta; x. Aber die schriftlichen Berechnungen zu vereinfachen, dann statt öx zu schreiben. wir h schreiben.
D EFINITION 5. Durch die Ableitung einer Funktion f (x) verstehen wir die folgende Grenze, wenn es vorhanden ist:
Wir nennen diese Grenze die Funktion f '(x) - ‚f -Prime von x‘ - und wenn diese Grenze existiert, sagen wir, dass f sich in x differenzierbar ist. und dass f einen Derivat.
Und so nehmen wir die Grenze des Differenzquotienten als h nähert sich 0. Wenn diese Grenze vorhanden ist, bedeutet das, dass der Differenzenquotient kann zu dieser Grenze so nah gemacht werden - „f '(x)“ - wie es uns gefallen. (Lektion 2 .)
Wie für x. wir sind es zu betrachten, als festgelegt. Es ist der spezifische Wert, bei dem wir f evaluieren '(x).
In der Praxis müssen wir den Differenzenquotienten vereinfachen, bevor h Ansatz lassen 0. Wir haben den Zähler zum Ausdruck bringen -
-- so dass wir es durch h teilen können.
Um es zusammenzufassen: Die Ableitung ist eine Funktion - in der Regel -, die an der Stelle x der Steigung der Tangente an jeden Wert zuweist (x f (x).) Auf dem Graphen von f (x). Es ist die Änderungsrate von f (x) an diesem Punkt.
Als Beispiel werden wir die Definition gelten zu beweisen, daß die Steigung der Tangente an die Funktion f (x) = x 2 am Punkt (x. X 2) ist 2x.
Dies ist, was wir beweisen wollten.
Problem. Sei f (x) = x 2 und berechnet die Steigung der Tangente an den Graphen -
Da f '(x) = 2x. dann bei x = 5 die Steigung der Tangentenlinie 10 ist.
b) bei x = -3. -6.
Nach der Definition wird eine Funktion bei x differenzierbar sein, wenn eine bestimmte Grenze existiert. Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph bei diesem Wert von x eine Tangentenlinie hat. An welchen Werten, dann wäre eine Funktion nicht differenzierbar sein?
Wo es nicht über eine Tangente
Oben sind zwei Beispiele. Die Funktion auf der linken Seite nicht über eine Ableitung bei x = 0, da die Funktion dort diskontinuierlich ist. Bei x = 0 gibt es offensichtlich keine Tangente.
Wie für die Grafik auf der rechten Seite, ist es der absolute Wert Funktion y = | x |. (Topic 5 von Precalculus.), Und es ist nicht möglich, die Tangentenlinie bei x = 0 zu definieren, da der Graph es einen spitzen Winkel bildet. In der Tat ist die Steigung der Tangentenlinie als x 0 von links nähert, -1. Die Steigung von rechts nähert, ist jedoch +1. Die Steigung der Tangente bei 0 - das ist die Ableitung bei x = 0 sein würde, - also nicht vorhanden. (Definition 2.2.)
Die Absolutwert-Funktion dennoch kontinuierlich ist bei x = 0. Für die linke Grenze der Funktion selbst, wenn x gegen 0 an die rechten Grenze, die gleich ist, nämlich 0. Dies zeigt, dass die Kontinuität an einem Punkt ist keine Garantie für Differenzierbarkeit - die Existenz einer Tangente - an diesem Punkt.
(Umgekehrt aber, wenn eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist - wenn es eine Tangente ist - wird es auch dort kontinuierlich sein Der Graph wird glatt und hat keine Pause.).
Da Differentialrechnung die Studie von Derivaten ist, ist es im Grunde mit Funktionen besorgt darüber, dass bei allen Werten ihrer Domains differenzierbar sind. Solche Funktionen werden differenzierbare Funktionen genannt.
Können Sie eine elementare Klasse von differenzierbare Funktionen nennen?
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Notationen für die Ableitung
Da die Ableitung ist diese Grenze. dann wird das Symbol für die Grenze selbst ist (sprich: ". dee dee-y-x")