Drehbare Methods
In der Gauß-Jordan-Modul sahen wir einen Algorithmus, eine allgemeine lineare Gleichungssystem für die Lösung, bestehend aus n Gleichungen und n Unbekannten, wobei angenommen wird, dass das System eine einzigartige Lösung. Das Verfahren wird zugeschrieben Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) und Wilhelm Jordan (1842-1899). Der folgende Satz besagt die hinreichenden Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen eines linearen Gleichungssystem.
Satz (Unique Solutions) wird angenommen, dass eine Matrix. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
(I) Da jede Matrix, das lineare System hat eine einzigartige Lösung.
(Iii) Das Gleichungssystem hat die einzigartige Lösung.
ProofGauss-Jordan Elimination und PivotingGauss-Jordan Elimination und Verschwenkung
(I) Austausche: Die Reihenfolge der zwei Reihen können gegeneinander ausgetauscht werden.
(Ii) Normierung: eine Zeile von einem von Null verschiedenen Konstante multipliziert wird.
(Iii) Ersatz: Zeile r kann durch die Summe dieser Werg und ein Nicht-Null-Vielfach von jeder anderen Zeile ersetzt werden;
das ist: .
Es ist gängige Praxis umzusetzen (iii) durch eine Reihe mit der Differenz dieser Zeile und einem Vielfachen einer anderen Reihe zu ersetzen.
ProofGauss-Jordan Elimination und PivotingGauss-Jordan Elimination und Verschwenkung
Definition (Pivot-Element). Die Zahl in der Koeffizientenmatrix, die verwendet wird, in dem zu beseitigen, wird das Schwenkelement bezeichnet, und die Zeile ist die Pivotzeile genannt.
Satz (Gauß-Elimination mit rückseitiger Substitution). Es sei angenommen, dass eine nicht-singuläre Matrix. Es besteht ein einzigartiges System, das mit dem gegebenen System äquivalent ist, wo eine obere Dreiecksmatrix mit für. Nach aufgebaut sind, kann zurück Substitution verwendet werden, um zu lösen.
ProofGauss-Jordan Elimination und PivotingGauss-Jordan Elimination und Verschwenkung
Es gibt zahlreiche Schwenk Strategien in der Literatur diskutiert. Wir erwähnen nur wenige einen Hinweis auf die Möglichkeiten zu geben.
(I) Nr Schwenkbarer. Keine Schwenkeinrichtung keine Zeile Vertauschungen. Es kann nur dann, wenn Gaußsche Eliminations nie in Nullen auf den Diagonalen laufen erfolgen. Da eine Division durch Null ein fataler Fehler ist vermeiden wir in der Regel diese Verschwenkung Strategie.
Drehbare zu vermeiden
(Ii) Trivial verschwenken. Die triviale Schwenk Strategie ist wie folgt. Ob . nicht wechseln Reihen. Ob . ortet die erste Zeile, in der unter p und wechseln Zeilen k und p. Dies wird in einem neuen Elemente zur Folge hat. das ein Nicht-Null-Schwenkelement.
Drehbare Fehler zu reduzieren
Da der Computer mit fester Genauigkeit Arithmetik verwendet, ist es möglich, dass ein kleiner Fehler wird jedes Mal eingeführt werden, die eine arithmetische Operation durchgeführt wird. Das folgende Beispiel zeigt, wie die Verwendung der Trivial Verschwenkung Strategie in Gaußschen Eliminations zu signifikanten Fehlern in der Lösung eines linearen Gleichungssystem führen kann.
ProofPivoting Methods
Computer ProgramsPivoting Methods
Mathematica Subroutinen für Pivoting.Execute die Zellen in dieser Gruppe zu Subroutinen zu aktivieren.
Beispiel 1. Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 1.
Beispiel 2. Mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 2.
Ein lineares System mit einer Hilbert-Matrix ist schwierig numerisch zu lösen. Die folgenden Beispiele veranschaulichen diese Situation.
Beispiel 3. Die Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 3.
Beispiel 4. Die Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 4.
Beispiel 5. Die Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 5.
Beispiel 6. Die Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 6.
Beispiel 7. Die Gaußsche Eliminationsverfahren verwenden zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 7.
Beispiel 8 Verwendung der Gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen, wo ist die Hilbert-Matrix und. Mithilfe der trivial, skalierten Teil Teil- und Gesamtschwenkstrategien.
Lösung 8.
Forschungserfahrung für Absolventen
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