Eine Einführung in die Zahlentheorie
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Artikel von Vicky Neale
In diesem Artikel werden wir auf einige elementare Ergebnisse in Zahlentheorie betrachten, teils, weil sie in sich selbst interessant sind, zum Teil, weil sie in anderen Zusammenhängen (zB in olympiad Probleme) nützlich sind, und zum Teil, weil sie geben Ihnen einen Geschmack von dem, was Anzahl Die Theorie geht.
Sie werden ein wenig Wissen im Voraus benötigen, aber nicht viel: Sie müssen mit Kongruenzschreibweise vertraut sein, und Sie müssen wissen, dass, wenn ein $ $ und $ n $ ist coprime (hat höchste gemeinsamen Faktor $ 1 $), dann einen $ $ hat eine multiplikative inverse n mod $ $ (das heißt, es ist eine ganze Zahl $ $ b, so daß eine \ times b \ equiv 1 \ $ text< mod > n $). Sie können eine Erklärung für all dies in den modularen Arithmetik genannt Artikeln. Vielleicht finden Sie auch nützlich zu wissen, dass eine ganze Zahl eine ganze Zahl ($ \ ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ ldots $ sind alle ganzen Zahlen) ist, und durch natürliche Zahl. I bedeutet eine positive ganze Zahl ($ 1, 2, 3, \ ldots $). Manchmal sind Leute $ 0 $ als eine natürliche Zahl, aber ich werde nicht in diesem Artikel.
Wir sagen, dass $ x $ teilt $ y $, geschrieben $ x | y $, wenn es eine ganze Zahl $ c $ so ist, dass $ y = c x $. So zum Beispiel, $ 3 | 6 $ (als 6 $ = 2 \ times $ 3), aber $ 3 \ nmid7 $. Wir brauchen ein wenig Eigenschaft der Primzahlen uns später zu helfen. Die Eigenschaft ist, dass, wenn $ p $ eine Primzahl und $ p | a b $, dann $ p | a $ oder $ p | b $. Ist dies offensichtlich? Nun, nein, nicht wirklich, weil es nicht wahr ist, es sei denn, $ p $ eine Primzahl. Zum Beispiel teilt $ 4 $ $ 6 \ mal 10 = $ 60, $ 4 $ aber nicht teilt $ 6 und $ $ $ 4 nicht $ 10 $ dividieren. Sagen wir es beweisen (für Primzahlen, natürlich!). Wir wissen, dass $ p | a b $. Wenn $ p | a $ oder $ p | b $, so ist offenbar das Ergebnis wahr ist, so nehmen wir an, dass es nicht. Jetzt werden wir Bezout Theorem, das besagt, dass $ m $ und $ n $ ist Koprimzahlen, wenn und nur wenn es existiert ganze Zahlen $ h $ und $ k $, so dass $ h m + k n = 1 $ verwenden. Da $ p \ a $ nmid, $ a $ und $ sind p $ Koprimzahlen (zur Erinnerung, ist $ p $ eine Primzahl). So gibt es ganze Zahlen $ h $ und $ k $, so dass $ a h + p k = 1 $. Ebenso gibt es $ $ $ H ganze Zahlen sind und K $ $, so dass b + H p K = 1 $. Lassen Sie sich diese Gleichungen zusammen multipliziert. Dann werden 1 $ = (a h + pk) (b H + p K) = ABH H + PKB H + p K a h + p ^ 2 k K = (ab) (h H) + p (kb H + K a h + pk K) $. Aber $ p | a b $ und sicherlich $ p | p $, so $ p $ teilt die rechte Seite, so $ p | 1 $. Aber das ist absurd. So $ p | a $ oder $ p | b $.
Wir können dieses Ergebnis und Induktion verwenden Sie den folgenden sehr wichtigen Satz zu beweisen:
?Der Fundamentalsatz der Arithmetik:
Jeder natürliche Zahl $ n> 1 $ kann im Wesentlichen auf einzigartige Weise als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden.
Mit „im wesentlichen einzigartig“, ich meine „Zählen verschiedene Anordnungen der Primzahlen als die gleichen“: $ 12 = 2 ^ 2 \ times3 = 3 \ times2 ^ 2 $, aber ich diese Produkte im wesentlichen der gleichen zählen. Sie sollten auch die sehr wichtige Tatsache beachten Sie, dass $ 1 $ keine Primzahl ist - sonst wird dieser Satz eindeutig falsch sein würde! Ich werde dieses Ergebnis nicht hier beweisen, aber Dich ein, sich gehen zu lassen, oder Sie können es in jedem Einführungsbuch über Zahlentheorie nachschlagen.
Der erste Satz werden wir beweisen, ist Fermats kleiner Satz genannt. manchmal zum Verwechseln, als FLT bekannt (verwirrend, weil FLT auch Fermats letzten Satz beziehen ist, die etwas ganz anderes ist!). Hier ist, was der Satz sagt:
Satz: Sei $ p $ sein ein gutes und ein $ $ eine natürliche Zahl nicht teilbar durch $ p $. Dann \ begin a ^ \ equiv 1 \ text< mod > Seite \ End Dies ist im Wesentlichen die gleiche wie die folgende Erklärung ab:Sei $ p $ eine Primzahl und a eine natürliche Zahl $ $. Dann \ beginnen, ein ^ p \ a \ Text equiv< mod > Seite \ End Warum ist das wirklich gleich? Wenn $ a \ equiv 0 \ text< mod > p $, dann ist es ziemlich offensichtlich, dass $ a ^ p \ a \ Text equiv< mod > p $. Wenn $ \ a \ nicht equiv 0 \ text< mod > p $, dann hat es eine inverse, so können wir beide Seiten von (2) durch die inverse multiplizieren und zurück (1). Auch ich hoffe, es ist klar, dass wir beide Seiten von (1) $ ein $ multiplizieren zu erhalten (2).
Lassen Sie uns den Satz beweisen (wir werden beweisen, (1)). Betrachten Sie die Menge $ \ $. Dieser enthält alle die unterschiedlichen Nicht-Null-Elemente mod p $ $ (das heißt, sie alle verschieden sind, und keiner von ihnen ist Null mod p $ $). Da sie alle Nicht-Null sind, wenn wir sie alle zusammen multiplizieren, werden wir etwas nicht Null mod $ p $ (wiederholt unter Verwendung des Ergebnisses von früher, dass, wenn $ p bekommen | ab $ dann $ p | a $ oder $ p | b $). Jetzt den Satz $ \ $ betrachtet, wo wir jedes Element mod $ p $ reduzieren (so liegt es zwischen 0 und $ p-1 $). Jetzt keine dieser Zahlen ist 0 mod $ p $, und sie sind alle verschieden (dies überprüfen, wenn Sie mir nicht glauben!). So ist es die Menge aller von der Nicht-Null-Elemente mod $ p $. So sicher in den zweiten Satz alle Zahlen multipliziert gibt die gleiche Antwort wie Multiplikation alle Zahlen im ersten Satz (mod $ p $). In Symbolen, $ 1 \ times 2 \ times \ ldots \ Zeiten (p-1) \ equiv a \ Zeiten (2a) \ times \ ldots \ Zeiten (p-1) a \ equiv a ^ \ times 1 \ times 2 \ ldots \ Zeiten (p-1) \ text< mod > p $. $ 1 \ mal 2 \ times Da \ ldots \ Zeiten (p-1) \ not \ equiv 0 \ text< mod > p $, können wir durch sie teilen, $ eine Abgangs ^ \ equiv 1 \ text< mod > p $.Der nächste Satz ist eine Verallgemeinerung von Fermats kleinem Satz, aber zuerst müssen wir eine neue Funktion definieren.
Die Euler Phi-Funktion. auch als Euler-Funktion bekannt. wird als Funktion $ \ varphi definiert: \ mathbf \ rightarrow \ mathbf $ (das heißt, Werte in den natürlichen Zahlen und geben Werte in den natürlichen Zahlen nehmen), wo $ \ varphi (n) $ ist die Anzahl der natürlichen Zahlen kleiner als oder gleich $ $ n, die sind Koprimzahlen $ n $ an. So \ $ varphi (p) = p-1 $ für alle p $ Primzahlen $ (weil alles weniger als $ $ p ist coprime auf $ p $), zum Beispiel. Ein weiteres Beispiel: $ \ varphi (15) = 8 $, da $ 1, 2, 4, 7, 8, 11, $ 13 und $ 14 $ sind genau die natürlichen Zahlen kleiner als und coprime bis $ 15 $.
Diese Funktion hat eine besondere Eigenschaft. Wenn $ m $ und $ n $ coprime. $ \ Varphi (m n) = \ varphi (m) \ varphi (n) dann $. Ich werde den Beweis dafür zu Ihnen als Übung, denn mit ein paar Hinweise lassen Sie es nicht zu schwer ist. Wir haben gearbeitet bereits heraus, was $ \ varphi (p) $ ist, wenn $ p $ eine Primzahl ist. Jetzt trainiert $ \ varphi (p ^ 2) $ und dann $ \ varphi ausrechnen (p ^ k) $, wobei $ k $ eine natürliche Zahl ist. Jetzt trainieren $ \ varphi (pq) $, wobei $ p $ und $ q $ sind verschiedene Primzahlen, und arbeiten bis zu $ \ varphi (p ^ mq ^ n) $, wieder, wobei $ p $ und $ q $ unterscheiden Primzahlen. Spotted das Muster? Verwenden Sie nun den Fundamentalsatz der Arithmetik (siehe oben), dass $ \ varphi (m n) = \ varphi (m) \ varphi (n) für n $ coprime $ m $, $ $ zu beweisen.
Lassen Sie sich bei einer Verallgemeinerung von Fermats kleinem Satz, manchmal auch das Fermat-Euler Theorem nun einen Blick.
Satz: Sei $ n> 1 $ eine natürliche Zahl und ein $ $ eine ganze Zahl coprime bis $ n $. Dann $ a ^ \ equiv 1 \ text< mod > n $.
Warum ist dies eine Verallgemeinerung des kleinen Satzes von Fermat? Nun, die bei $ n $ eine Primzahl ist. Dann $ \ varphi (n) = n-1 $, und wir wieder genau die Aussage des kleinen Satzes von Fermat.
Ich werde den Beweis als Übung verlassen, da es zum Beweis von Fermats kleinen Satz sehr ähnlich ist.
Wir kommen nun zu dem letzten Satz in diesem Artikel genannt Satzes von Wilson.
Satz: $ p $ sein Primzahl lassen. Dann $ (p-1)! \ Equiv -1 \ text< mod > p $ (wo. Bezeichnet Fakultät).
Auf dem ersten Blick könnte es scheint völlig unklar, wie man zu beweisen dies gehen könnte, aber es ist ein schöner und einfacher Beweis, dass ich jetzt darlegen soll. Denken Sie daran, dass jede der Zahlen 1 $, 2, 3, \ ldots, p-1 $ eine inverse \ Text hat< mod > $ P $? So können wir aus Zahlen koppeln, so dass eine Anzahl in dem Paar die Umkehrung der anderen Zahl im Paar ist. Aber eine Reihe könnte die Umkehrung von selbst sein. Wann wird dies geschehen? Wenn man darüber nachdenkt, sehen Sie, dass $ x $ eine eigene inverse ist nur, wenn $ x ^ 2 \ equiv 1 \ text< mod > p $. Das heißt, $ x $ ist seine eigene inverse nur, wenn $ (x-1) (x + 1) \ equiv 0 \ text< mod > p $, und da $ p $ eine Primzahl ist, sehen wir, dass wir $ x-1 muss \ equiv 0 \ text< mod > p $ oder $ x + 1 \ equiv 0 \ text< mod > p $, so dass die einzigen Zahlen zwischen $ 1 $ und $ p-1 $, die ihre eigenen Umkehrungen sind $ 1 $ und $ p-1 $. Lassen Sie uns jetzt denken Sie zurück zu $ (p-1)! $. Jedes Paar $ (a, a ^) $ trägt $ 1 $ auf dieses Produkt, so dass die einzigen Dinge, die wir sind p-$ 1 $ 1 $ und $ Sorgen verlassen haben. So $ (p-1)! \ Equiv 1 \ times (p-1) \ equiv -1 \ text< mod > p $, wie wir wollten.
Ich hoffe, das Ihnen einen Eindruck von dem, was Zahlentheorie ist etwa gegeben hat; gibt es zahlreiche Bücher zur Verfügung, die die Theorie weiter zu entwickeln, und eine große Anzahl von olympiad Probleme, die Sie mit Ihrem neuen Wissen angehen mögen!
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