Elementare Zahlentheorie und Methoden des Nachweises

Wir beginnen mit einigen grundlegenden Zahlentheorie. Die Menge der ganzen Zahlen ist unter Addition, Subtraktion geschlossen und Multiplikation. Folglich Summen, Differenzen und Produkte von ganzen Zahlen ganze Zahlen sind. Ist diese Eigenschaft für die Division halten? Ganze Zahlen werden in einer von zwei Formen, entweder eine ganze Zahl gerade ist oder ungerade ist.

Definition: Eine ganze Zahl n ist, selbst wenn, und nur dann, wenn n = 2k für eine ganze Zahl k. N eine ganze Zahl ungerade ist, wenn und nur wenn n = 2k + 1 für eine ganze Zahl k. Symbolisch, wenn n eine ganze Zahl ist, dann ist

Dies sind Äquivalenzbeziehungen, folgt daraus, dass sowohl die bedingte (p nur dann, wenn q) und seine Umkehrung (p, wenn q) wahr sind.

Einige der Praxis mit unserer Definition:

0 selbst?
Ist -515 ungerade?
Wenn a und b ganze Zahlen sind, ist 6a 2 b 3 selbst? Warum?
Wenn a und b ganze Zahlen sind, ist 10a 2 + 3 + 1 6b sogar? Warum?

Konstruktive Proofs of Existence, Ex. 3.1.3top

Beweisen Sie die folgenden Schritte aus:

eine gerade Zahl n $, die auf zwei Arten als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden kann.
Lösung: Es sei N = 14. Dann werden 14 = 11 + 3 = 7 + 7 und 3, 7 und 11 sind alle Primzahlen.
$ Für eine ganze Zahl k, so dass 14r + 6s = 2k. wobei r und s ganze Zahlen sind.
Lösung: k = 7r + 3s lassen. Dann k eine ganze Zahl, da es die Summe der Produkte von ganzen Zahlen ist; und durch Substitution, 2k = 2 (7r + 3s).

Relativ schlechter Nachweis der Existenz
Entweder (a) Existenz eines Wertes von x, die Q (x) wahr macht, wird durch ein Axiom oder einem zuvor bewiesen Satz oder (b) die Annahme gewährleistet, dass es nicht so ist x zu einem Widerspruch führt.

Proving Allsätze

Verfahren zum Verallgemeinern von den generischen zum Particulartop

Starten Sie den Nachweis von diesem x Annahme ist eine besondere, aber willkürlich Element D gewählt, für die die Hypothese, P (x) wahr ist.
Zeigen Sie, dass der Abschluss Q (x) wahr ist durch Definitionen verwenden, zuvor ermittelten Ergebnisse und die Regeln für die logische Folgerung.

Satz 3.1.1 Wenn die Summe von zwei beliebigen ganzen Zahlen selbst ist, dann ist so ihre Differenz.

Beweis:
Supposem und n sind [insbesondere, aber willkürlich gewählten] ganze Zahlen, so daß m + n gerade ist. [Wir müssen diese m zeigen - n gerade ist.] Nach Definition von selbst, m + n = 2k für eine ganze Zahl k. Subtrahieren n von beiden Seiten ergibt m = 2k - n. Damit

o den Satz schreiben zu beweisen.

o Machen Sie Ihren Beweis eigenständig.

o Schreiben Beweise in kompletten englischen Sätzen.

Dies gilt, da, wenn m = 14 und n = 6 ist, dann m + n = 20, die gerade ist,
und m - n = 8, die auch gerade ist.

den gleichen Brief mit zwei verschiedenen Dinge zu bedeuten.

Angenommen, m und n sind ungerade Zahlen. Dann definitionsungerader, m = 2k + 1
und n = 2k + 1 für eine ganze Zahl k.

Springen zu einem Abschluss (wirft die Frage auf).

Es seien m und n ganze Zahlen sind und m + n gerade ist. Dann per Definition von selbst,
m + n = 2 k für eine ganze Zahl k. Dann m = 2k - n, und so m - n gerade ist.

Es sei p eine Primzahl ist. Ist p prime [falsche Verwendung von "if", die
primeness von p ist nicht in Zweifel, wie wir es angenommen haben]. dann p
kann nicht als Produkt von zwei kleineren positiven ganzen Zahlen geschrieben werden.

1. Die Namen der Variablen und angeben, welche Arten von Objekten, die sie sind.

2. Annahme der Hypothese der if-then-Anweisung.

3. Was ist zu zeigen.

In Anbetracht der Aussage

Beispiel: Schreiben Sie den Anfang eines Beweises für die Aussage „“ G. wenn G ist ein komplettes, zweiteiligen Graphen dann G verbunden ist.“
Startpunkt: Angenommen, G ist ein besonderes, aber willkürlich vollständig, zweiteiligen Graphen gewählt.
Um zu zeigen: G angeschlossen ist.
Unsere endgültige Lösung für den Beginn eines Beweises ist dann:
Beweis: Angenommen, G ist ein besonderes, aber willkürlich vollständig, zweiteiligen Graphen gewählt. [Wir müssen zeigen, dass G verbunden ist.]

Beweis durch Contradiction top
Diese Technik basiert die Existenz der Elemente in der Domäne auf der Annahme, dass die Hypothese, und nicht den Schluss zu erfüllen, die dann logischerweise zu einem Widerspruch führt. Manchmal ist die Negation einer Aussage leichter zu widerlegen (führt zu einem Widerspruch) als die ursprüngliche Aussage zu beweisen.

Beispiel: Beweisen, dass es keine rationale Zahl j / k, dessen Quadrat 2. Mit anderen Worten, zeigt, dass die Quadratwurzel von 2 ist irrational. (Diese Aussage ist ein guter Kandidat für Widerspruchsbeweis, da wir nicht alle möglichen rationalen Zahlen überprüfen konnte, dass keine zeigen, hat sich zu einem Quadratwurzel von 2)

Beweis: Angenommen, (j / k) 2 = 2 für einige ganze Zahlen j und k. die keine gemeinsamen Faktoren.
Nun, wenn die ursprüngliche Wahl von j / k ist nicht in niedrigsten Begriffe können wir keine gemeinsamen Faktoren ausklammern und ersetzen sie durch ihr Äquivalent niedrigsten Zeit Form.

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