Streicher, stehende Wellen und Harmonische

Einleitung: Schwingungen, Saiten, Rohre, Schlagzeug.

Wie wir musikalische Klänge machen? Um einen Sound zu machen, müssen wir etwas, das vibriert. Wenn wir Noten machen wollen, müssen Sie in der Regel die Schwingung eine nahezu konstante Frequenz haben: die stabile Tonhöhe bedeutet. Wir wollen auch eine Frequenz, die leicht vom Spieler gesteuert werden kann. In elektronischen Geräten ist dies mit elektrischen Schaltungen durchgeführt oder mit Uhren und Erinnerungen. In nicht-elektronischen Instrumenten, die stabile, gesteuerte Schwingung wird durch eine stehende Welle erzeugt. Hier diskutieren wir die Möglichkeit Strings arbeiten. Dies ist auch eine nützliche Einführung für Blasinstrumente studieren, weil schwingende Saiten sind leichter sichtbar zu machen als die Schwingung der Luft in Blasinstrumenten. Beide sind weniger kompliziert als die Schwingungen der Stäbe und Felle der Stoßfamilie. Für die Physik von stehenden Wellen, gibt es ein Multimedia-Tutorial.

Wanderwellen in Strings

Zunächst werden Sie feststellen, dass die Geschwindigkeit der Welle in der Kette erhöht, wenn Sie es dehnen fester. Dies ist für Tuning Instrumente nützlich - aber wir sind immer vor uns. Es hängt auch von der „Gewicht“ des Strings - es bewegt sich langsamer in einem dicken, schweren Zeichenfolge als in einer Lichterkette von gleicher Länge unter der gleichen Spannung. (Streng genommen ist es das Verhältnis von Spannung zu Masse pro Längeneinheit, die Geschwindigkeit bestimmt, wie wir weiter unten sehen werden.)

Als nächstes wollen wir uns die Reflexion am festen Ende einen genauen Blick haben. Sie werden feststellen, dass, wenn Sie zunächst die Zeichenfolge nach links ziehen, dem Knick, die von Ihnen weg bewegt ist auf der linken Seite, aber das es kommt wieder als Knick nach rechts - die Reflexion umgekehrt wird. Dieser Effekt ist wichtig, nicht nur in Saiteninstrumenten, aber in Bläsern und Schlagzeug als auch. Wenn eine Welle, die eine Grenze mit etwas begegnet, die nicht oder zu ändern bewegen (oder das nicht leicht ändern), wird die Reflexion invertiert. (Die Tatsache, dass es umgekehrt wird, ergibt Null-Verschiebung am Ende. Jedoch Reflexion bei jeder Phasenänderung wird eine stehende Welle geben.)

Zupfinstrumente

Wenn Sie eines der Saite auf einer Gitarre oder Bass zupfen, tun Sie etwas ähnliches, wenn auch hier die Zeichenkette an beiden Enden befestigt ist. Sie ziehen die Schnur an einem Punkt, dann loslassen, wie gezeigt. Die Bewegung, die folgt, ist interessant, aber kompliziert. Die Anfangsbewegung ist unten gezeigt. Jedoch verschwinden die Hochfrequenzkomponenten der Bewegung (die scharfen Biegungen im String) schnell - weshalb der Klang einer Gitarre Note weicher eine Sekunde oder mehr wird, nachdem Sie es reißen.

Eine Skizze der Reflexion des Reisens Knicke durch Zupfen einer Saite verursacht. Zu den Zeitpunkt durch (e) dargestellt und (m), ist die Saite gerade so es die potentielle Energie mit ihrer verbundenen zieht seitlich verloren hat, aber es hat eine maximale kinetische Energie. Man beachte, dass bei den Überlegungen, die Phase des Knicks um 180 ° verändert: von oben nach unten oder umgekehrt. Beachten Sie, wie auch die ‚Durchlauf durch‘ Knick miteinander, wenn sie in der Mitte treffen.

Warum wird invertiert die Reflexion? Nun, wenn wir annehmen, dass sie an einen festen Gegenstand geklemmt oder gebunden ist, hat der Reflexionspunkt nicht wirklich bewegen. Aber schauen Sie sich die Bewegung der Schnur durch die verschiedenen Zeiten in den linken Handskizzen dargestellt zu vergleichen. Beachten Sie, dass die Zeichenfolge hinter dem Knick zurück in Richtung der ungestörten Position bewegt (nach unten in der Skizze). Da der Knick das Ende nähert, wird es kleiner und, wenn es das unbewegliche Ende erreicht, gibt es keinen Knick überhaupt ist - die Saite gerade für einen Augenblick ist. Aber die Saite hat immer noch seine nach unten Dynamik, und das trägt sie über die Position der Ruhe und erzeugt einen Knick auf der anderen Seite, das dann wieder in der anderen Richtung bewegt. (Die Bewegung der Wellen in Strings wird ausführlicher in sich ausbreitenden Wellen beschrieben. Die Filmclips und Animationen hat. Auf dieser Seite jedoch werden wir uns auf die musikalischen Implikationen konzentrieren.)

Wie oben erwähnt, wird diese Bewegung nur unmittelbar nach dem zupfen beobachtet. Da die Hochfrequenzkomponenten Energie verlieren, verschwinden die scharfen Knicke und die Form nähert sich allmählich, dass die Grundmode von vibraiton, die wir weiter unten diskutieren.

Ein Streich verhält sich etwas anders

Erstens hat es eine kontinuierliche Energiequelle, und so kann die gleiche Bewegung auf unbestimmte Zeit (oder zumindest beibehalten, bis eine von Bogen verläuft. Zweitens benötigt die Zeichenfolge die Form gleichförmig bewegten Bogen anzupassen unterscheidet.

Eine Skizze der Reflexion des Reisens Knick durch Verbeugung einen String verursacht. Siehe die Animation und eine Erklärung für die Bogensehne Interaktion in Bögen und Saiten

Wanderwellen und stehende Wellen

Ein interessanter Effekt tritt auf, wenn Sie versuchen, durch wiederholtes winken ein Ende nach oben und unten eine einfache Welle entlang der Zeichenfolge zu senden. Wenn Sie eine geeignete Feder oder Gummischlauch gefunden haben, probieren Sie es aus. Ansonsten schauen Sie sich diese Diagramme.

Das Bild rechts ist das gleiche Diagramm wie eine Sequenz Zeit dargestellt - Zeit nimmt von oben nach unten. Man könnte daran denken, wie eine Reihe von Fotografien der Wellen darstellen, sehr schnell gemacht. Die rote Welle ist es, was wir tatsächlich in einer solchen Aufnahmen sehen.

Dies wird in der Animation und die Abbildung dargestellt. Beachten Sie die Positionen (Knoten), wo die beiden Wanderwellen immer zunichte machen, und die andere (Bäuche), wo sie fügen eine Schwingung mit maximaler Amplitude zu geben.

Sie könnten als Darstellung dieses Diagramms denken (nicht maßstäblich) der fünften Harmonischen an einer Schnur, deren Länge die Breite des Diagramms. Das bringt uns zum nächsten Thema.

Harmonics und Modi

Die Saite für ein Musikinstrument ist (fast) an beiden Enden befestigt, so dass jede Schwingung der Saite muss an jedem Ende hat Knoten. Nun, da begrenzt die möglichen Vibrationen. Zum Beispiel könnte die Zeichenfolge mit der Länge L um eine stehende Welle mit der Wellenlänge doppelt so lang ist wie die Saite (Wellenlänge λ = 2L), wie in der ersten Skizze in der nächsten Serie gezeigt. Dies gibt einen Knoten an jedem Ende und einen Schwingungsbauch in der Mitte.

Dies ist einer der Schwingungsmoden der Schnur ( „Schwingungsart“ bedeutet nur, Stil oder Art von Vibrating). Welche anderen Modi werden auf einer Schnur erlaubt an beiden Enden befestigt? Mehrere stehenden Wellen werden in der nächsten Skizze gezeigt.

Eine Skizze der ersten vier Schwingungsmodi eines idealisierten * gespannten Saite mit einer festen Länge. Die vertikale Achse ist übertrieben dargestellt.

Lassen Sie uns arbeiten, um die Beziehungen zwischen den Frequenzen dieser Modi aus. Für eine Welle, die Frequenz ist das Verhältnis der Geschwindigkeit der Welle auf die Länge der Welle: f = v / λ. Im Vergleich zu der String-Länge L, können Sie sehen, dass diese Wellen haben eine Länge 2L, L, 2L / 3, L / 2. Wir könnten dies als 2L / n schreiben, wobei n die Anzahl der Harmonischen ist.

Der fundamentale oder erster Modus hat Frequenz f1 = v / λ1 = v / 2L,
Der zweite Harmonische weist Frequenz f2 = v / λ2 = 2V / 2L = 2f1
Die dritte Harmonische hat Frequenz f3 = v / λ3 = 3 V / 2L = 3F1,
Die vierte Harmonische hat Frequenz f4 = v / λ4 = 4V / 2L = 4F1. und zu verallgemeinern,

Die n-te Harmonische besitzt Frequenz fn = v / & lambda; n = nv / 2L = NF1.

Die Figur zeigt die Notenschrift für die ersten zwölf Harmonischen auf einem C-String. Wenn Sie die Audio-Datei spielen, genau hinhören, um das Feld. Die siebte und elfte Harmonische fallen etwa auf halber Strecke zwischen den Noten auf dem gleichmäßig temperierte Tonleiter, und so mit der Hälfte sharps notiert wurden.

Sie können diese Abstände auf einer gespannten Saite erzeugen: es ist am einfachsten auf den tiefen Saiten einer Gitarre, Cello oder Bass *. Berühren die Schnur leicht an einem Punkt, 1 / n seiner Länge von dem Ende (wobei n 1, 2, 3 usw.), dann wird die Zeichenfolge Bogen nahe dem Ende. Alternativ berühren Sie die Saite sehr leicht an einem Punkt 1 / n seiner Länge vom Ende, so reiß die Schnur nahe am Ende und lassen Sie die ersten Finger, sobald Sie gezupft haben. die Zeichenfolge Berühren erzeugt einen Knoten, an dem Sie berühren, und so erregt man (vor allem), um den Modus, der einen Knoten dort hat. Sie werden feststellen, dass Sie spielen können Signalhorn Melodien Harmonischen zwei vor sechs einer Zeichenkette verwenden.

Eine Übung für Gitarristen. Auf einer Gitarre in der üblichen Art und Weise sind, die B-Saite und hohe E-Saite in etwa den 3. und 4. Harmonischen der tiefen E-Saite gestimmt abgestimmt. Wenn Sie die tiefe E-Saite überall außer einem Drittel des Weges entlang zupfen, sollte die B-Saite zu vibrieren beginnen, durch die Schwingungen in der Brücke von den Harmonischen der ersten Saite angetrieben. Wenn Sie die tiefe E-Saite überall außer ein Viertel des Weges entlang der oberen E-Saite zupfen sollte in ähnlicher Weise angetrieben werden.

Harmonische Stimmung an den Gitarren

Gitarristen beginnen oft zu Tune-up auf folgende Weise: Erstens stimmen die 4. Harmonische der tiefen E-Saite, die dritte von der A-Saite und der oberen E alle auf die gleiche Note. Das Bild rechts zeigt die harmonische Reihe auf den beiden niedrigsten Saiten.

Harmonics in Musik

Öffnen Sie eine Saite gespielt normalerweise, dann ist der Touch vierten auf dieser Saite (4. Harmonische)

Die Tonhöhe einer Note wird dadurch bestimmt, wie schnell die Saite schwingt. Dies ist abhängig von vier Dinge:

Dickere, massivere Saiten schwingen langsamer. Auf Violinen, etc Gitarren, wird die offene Länge der Saite nicht ändern, und in der Regel die Spannung viel entweder nicht ändert (nach unten drückt sie alle etwa gleich schwer sind). So sind die tieftönenden Saiten sind dicker.
Die Frequenz steigt mit der Spannung in der Schnur. Dies ist, wie Sie das Instrument stimmen, Mechaniken oder Stimmwirbel mit: festen höherer Tonlage gibt.
Die Länge der Zeichenfolge, die frei zu schwingen ist, ist auch wichtig. Wenn Sie eine Zeichenfolge gegen das Griffbrett eines Cello stoppen, zum Beispiel, verkürzen Sie die effektive Länge und so die Tonhöhe erhöhen.
Sie können auch die Tonhöhe durch den Vibrationsmodus zu ändern. Wenn Sie spielen Harmonischen, induzieren sie die Zeichenfolge Wellen zu erzeugen, die ein Bruchteil der Länge davon sind normalerweise durch eine Kette von dieser Länge produziert.

Mal sehen, wo dieser Ausdruck kommt. Die Welle einer Strecke λ in einer Periode T der Schwingung, also V = λ / T. Die Frequenz f = 1 / T = v / λ. So f = v / λ. Wir sahen auch, dass für die Grundfrequenz f1. die Saitenlänge ist λ / 2 ist, so f1 = v / 2L. Die Wellendrehzahl wird durch die Saitenspannung F und die Masse pro Einheitslänge oder die lineare Dichte μ = M / L, v = (F / μ) 1/2 = (FL / M) 1/2 bestimmt. So f1 = ½ (F / LM) 1/2. Multipliziert man beide Seiten von n gibt die Frequenzen der Harmonischen oben zitiert.

Wir können diese neu ordnen die Saitenspannung zu geben: F = 4f1 2 LM.

Komplikationen im Zusammenhang mit harmonischer Abstimmung

Es gibt mehrere Probleme mit jeder Gitarre Tuning, einschließlich der Verwendung von Harmonischen oben vorgeschlagen.

Die naheliegendste Annäherung an Temperament bezogen werden: wenn die Gitarrensaiten waren ideal und die Bünde ideal für gleiches Temperament Abstand, harmonisches Viertels zur EA und AD-Paaren, plus zwei gleich temperierte Halbtonschritte auf der D-Saite Abstimmung würde das Intervall macht zwischen niedrigsten E und 2. Bund auf der D-Saite etwa 4 Cent flat ((4/3) 2 2 2/12 = 1,996). Dies würde zu Störungen schlägt bei Raten von um eine alle paar Sekunden.

Die Effekte, die oben sind schwierig Maßnahme mit experimentell mit der erforderlichen Präzision: Die Effekte sind nur ein paar Cent, die nicht viel größer als die Genauigkeit der Ohren oder Tuning-Meter ist, wenn auf eine zupfen Zeichenfolge angewandt. Ferner ist es schwierig, Maschinenköpfe einzustellen, um eine Genauigkeit besser als ein paar Cent zu erreichen. Auf der anderen Seite, wenn Sie alle Noten in tune innerhalb von ein paar Cent zu bekommen, tun Sie besser als die meisten Musiker und es klingt ziemlich gut!

Der Weg, um die meisten dieser Probleme ist Fretless Instrumente zu spielen, aber das macht Akkord mehr umständlich.

Einige technische Informationen für Streicher

Wie arbeiten Sie Harmonischen heraus, wenn sie nicht explizit kommentiert? Obwohl die vierten Berührungs das häufigste Harmonische ist, hat es einen Nachteil, als ein Beispiel. Ein Hauch vierte erzeugt die vierte Harmonische, aber die beiden „vierte“ s sind aus ganz anderen Zusammenhang. In keinem anderen einfachen Fall funktioniert eine Berührung n die n-te Harmonische erzeugen. Für die niedrigen Harmonischen, die Regel ist offensichtlich: 1 / n der Saite erzeugt, die n-te Harmonische. Diese Formel beginnt bei sehr hohen Stückzahlen zu versagen, wo die endliche Dicke der Saite wichtig ist. Ferner ist es nicht eine zuverlässige Art und Weise Harmonischen oberhalb von etwa 8. Herstellung.

String Spieler wissen, dass, wenn Sie fünf Skala spielen eine Zeichenfolge die Noten nach oben, Sie kommen an einer Stelle ein Drittel des Weges entlang der Saite, so dass ein „Touch fünfte“ erzeugt die dritte Harmonische. Wir können die Harmonischen im Format schreiben:

Skalenposition berührt

Fraktion von Stringlänge

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