Verwenden Derivate, um Probleme zu lösen Flächenoptimierung
Ein Problem (Optimierung) die Fläche eines Rechtecks mit einem konstanten Umfang zu maximieren dargestellt. Ein interaktives Applet wird verwendet, um das Problem zu verstehen. Dann kann eine Analysemethode, basierend auf den Ableitungen einer Funktion und einige Kalkül Theoremen wird entwickelt, um eine analytische Lösung für das Problem zu finden.
Lassen Sie uns versuchen, das Problem mit dem Applet unten zu verstehen. Es gibt viele Möglichkeiten, wie Sie ein Rechteck von 400 mm Umfang konstruieren können. Aber, wie man mit einer maximalen Fläche zu erhalten.
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Wir betrachten nun eine Lösung für dieses Problem Derivaten und anderen Kalkül Konzepten.
Lösen der Gleichung 400 = 2x + 2y für y
Wir ersetzen nun jetzt y = 200 - x in den Bereich A = x * y zu erhalten.
Der Bereich A ist eine Funktion von x. Wie Sie die Breite x im Applet ändern, ändern Sie den Bereich A auf der rechten Seite.
Erweitern Sie den Ausdruck für den Bereich A und schreiben Sie es als eine Funktion von x.
Wir könnten die Domäne der Funktion A (x) als alle Werte von x in dem geschlossenen Intervall [0 betrachten. 200], da x> = 0 und y = 200 - x> = 0 (wenn Sie die zweite Ungleichung zu lösen, Sie erhalten x <= 0).
Um den Wert von x zu finden, die einen Bereich A Maximum gibt, müssen wir die erste Ableitung dA / dx (A ist eine Funktion von x) finden.
Wenn A einen Maximalwert hat, kommt es bei x, so dass dA / dx = 0. An den Endpunkten der Domäne haben wir A (0) = 0 und A (200) = 0.
dA / dx = -2x + 200 = 0
Lösen der obigen Gleichung für x.
dA / dx hat eine Null bei x = 100.
Die zweite Ableitung d 2 A / dx 2 = -2 ist negativ. (Calculus Theorem siehe die erste und zweite Ableitung zur Verwendung extremma von Funktionen zu bestimmen). Der Wert der Fläche A bei x = 100 ist gleich 10000 mm 2, und es ist das größte (Maximum). Also, wenn Sie ein Rechteck mit einer Breite wählen x = 100 mm und eine Länge y = 200 - x = 200 - 100 = 100 mm (es ist ein Quadrat!), Erhalten Sie ein Rechteck mit maximaler Fläche gleich 10000 mm 2.
1 - Lösen das gleiche Problem wie oben, jedoch mit dem Umfang gleich 500 mm.
Lösung für die obige Übung
Breite x = 125 mm und eine Länge y = 125 mm.