Anfangswertprobleme für Wachstum und Verfall
Beispiel 1: Unbegrenzte Bevölkerungswachstum
Die Anzahl der Bakterien in einer flüssigen Kultur, die in einer Rate, die proportional zu der Anzahl der Zellen wachsen beobachtet. Zu Beginn des Experiments gibt es 10.000 Zellen und nach drei Stunden gibt es 500.000. Wie viele werden es nach einem Tag des Wachstums sein, wenn diese unbegrenzte Wachstum setzt sich fort? Was ist die Verdopplungszeit der Bakterien?
= Zeit vom Beginn des Experiments verstrichen ist (in Stunden).
= Die Anzahl der Zellen zum Zeitpunkt t.
Die Rate der Änderung der Anzahl der Zellen, das heißt, die Wachstumsrate ist einfach. so, dass die Aussage, dass die Wachstumsrate auf die Anzahl von Zellen proportional ist, bedeutet nur, dass:
Wir wissen aus früheren Arbeiten, dass diese Differentialgleichung hat die Lösung
und jetzt unsere Aufgabe ist es in den Werten für die Konstanten zu setzen.
Es ist einfach zu setzen in. da dieser Wert bekannt ist. So
Für wir müssen ein wenig mehr Arbeit tun. Wir können die Tatsache nutzen, dass nach drei Stunden, gibt es 500.000 Zellen so, Anstecken für t, wir haben
Abbrechen eines Faktor 10.000 und den Exponenten in aufgeräumter Weise zu schreiben, bedeutet dies, dass
Wir können diese Beziehung, um den Wert von dem folgenden Standard kleinen „Trick“ zu finden. Daran erinnernd, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrung der Exponentialfunktion ist, nehmen wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten bekommen:
Somit ist die Rate konstant gefunden zu haben. wir finden, dass die Lösung der Differentialgleichung, die auch den Anfangswert statisfies die Funktion ist.
Die grafische Darstellung dieser Funktion ist oben gezeigt. Die Einheiten auf der y-Achse entsprechen, ein Vielfaches von 1000 ist.
Wir können jetzt vorhersagen, wie viele Bakterien dort nach 1 Tag sein wird. (Dies ist nicht auf der Grafik dargestellt, weil es weg wäre Maßstab!) Erinnern, um konsistente Zeiteinheiten zu konvertieren, nämlich Stunden, berechnen wir, dass nach dem 1. Tag (24 Stunden) dieses unbegrenzt exponentiellen Wachstums sollte die Gesamtzahl der Zellen Sein:
Verdopplungszeit: Die Zeit, die es für eine bestimmte Population nimmt in der Größe zu verdoppeln.
(Hinweis: In der Andromeda-Stamm, verdoppelten sich die Bakterien alle 20 Minuten Wir haben diese Tatsache, um zu bestimmen, wie die Bakterien wachsen würden Hier werden wir die Verdopplungszeit nicht direkt gegeben, aber wir können es von der anderen Informationen in das Problem gegeben berechnen.. , Wie nachfolgend dargestellt.)
Lassen Sie sich durch das Symbol auf die Verdoppelungszeit beziehen. (Dies ist der griechische Buchstabe Tau. Mathematicians eine besondere Vorliebe für das griechische Alphabet hat, was praktisch ist, wenn das römische Alphabet läuft aus bequem Buchstaben zu verwenden.)
Da ist die Zeit, die für eine Bevölkerung, die Größe der Bevölkerung ist das Doppelte seiner Größe zu verdoppeln nimmt. d. Damit,
Wir können nun den Wert finden, indem die Lösung
Abbrechen eines Faktor 10.000 unter natürlichen Protokolle wie zuvor, und das Ergebnis Vereinfachung führt zu:
In dem vorliegenden Problem suchen wir, so dass
Somit ist die Verdopplungszeit in diesem Problem 0,533 Stunden, was in etwa 32 Minuten sind. Diese Bakterien wachsen etwas langsamer als der Andromeda-Stamm.
= Zeit.
= Masse des radioaktiven Isotops.
Die Masse des radioaktiven Isotops ist immer eine positive Zahl, aber mit der Zeit wird es immer kleiner, da mehr und mehr von der Substanz erhalten wird, in den Stall, nicht-radioaktive Material umgewandelt.
Mit der Tatsache, dass die Änderungsrate der Masse des radioaktiven Isotops ist zu seiner Masse bei der gegebenen Zeit proportional, wir schreiben
Durch die bisherige Arbeit. wir wissen, dass die Lösung dieser Differentialgleichung ist
Beachten Sie, dass bei $ 0 „>. Der Exponent in dieser Funktion negativ sein wird. Daher müssen wir uns mit den Funktionen der oben genannten Form für negative Exponenten vertraut zu machen. Einige Mitglieder dieser Familie von Funktionen (für verschiedene Werte der Konstanten sind unten dargestellt:
Für Ihre Überlegung:
Mit dieser Vorbereitung sind wir bereit, Aufmerksamkeit, um das folowing Problem zu lösen:
Kohlenstoff-14 ist ein radioaktives Isotop von Kohlenstoff, der eine Halbwertszeit von 5600 Jahren hat. Es wird weitgehend in der Datierung organisches Material verwendet, die Zehntausende von Jahren alt ist. Welcher Bruchteil der ursprünglichen Menge an Kohlenstoff-14 in einer Probe würde nach 10.000 Jahren präsent sein?
Wenn wir das Symbol zu bezeichnen, die Halbwertszeit eines Prozesses verwenden und die Menge einer Substanz zu repräsentieren anfänglich dann
Abbrechen eines Faktor. wir bekommen
Wir können die reziproken beiden Seiten dieser Gleichung nehmen es in einer vertrauteren Form zu erhalten:
Wir sind wieder auf eine Beziehung, die wir bereits gelöst, wenn wir Zeit für einen Prozess des Wachstums des Studium Verdoppelung (siehe Beispiel 1 auf dieser Seite). Unter den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten, finden wir, dass
So schließen wir, dass die Halbwertszeit und die Rate konstant in der gleichen Art und Weise im Zusammenhang nach wie vor:
In diesem Beispiel werden wir die Halbwertzeit, Jahre gegeben, und wir sollten die Konstante k von ihm finden:
So ist die Lösung, die wir für Ihre Suche ist:
Nach 10.000 Jahren der Feststellung der Bruchteil der ursprünglichen Menge, die in diesen Ausdruck durch Substitution gefunden werden gelassen, und dass
So 30% der ursprünglichen Probe gelassen werden.