Mathematik Stack - Wie Exponenten Gesetze für verschiedene Zahlensysteme, einschließlich Echt Exponenten beweisen
Wie konnte ich folgende Exponenten Gesetze für Satz real, in der angegebenen Reihenfolge unter Beweis stellen?
1) $ a ^ m ^ * a n = a ^ $ casei a ^ m = a.a.a. bis m Faktoren a ^ n = a.a.a. bis n Faktoren a ^ ma ^ n = a.a.a. + Bis m n Faktoren a ^ m a ^ n = a ^ (m + n) ich bewiesen habe es für positive ganze Zahlen, aber ich weiß nicht, wie es zu beweisen, für negative ganze Zahlen ohne 5 verwendet wird)
Aber von 5 verwendet wird) erwies sich als ich es
Es sei n eine negative ganze Zahl und m eine positive ganze Zahl und m + n> 0 a ^ (m + n) a ^ -n = a ^ (m + nn) Be = a ^ m [casei] durch ein ^ -NA Dividing ^ (m + n) = a ^ m / a ^ = a ^ -n ma ^ n
Es sei n eine negative ganze Zahl und m eine positive ganze Zahl und m + n ist<0 a^-(m+n)*a^m=a^(-m-n+m)=a^-n [Case I] Dividing by a^-(m+n)a^-n a^m/a^-n=1/a^-(m+n) a^m a^n=a^(m+n)
Aber ich habe sie noch m für die Fälle zu beweisen, wobei n 0, rational und reale I für 0 bewiesen unter Verwendung von 4) m = 0 und n eine positive oder negative ganze Zahl LHS = a ^ 0 * a ^ n = 1 * a ^ n = a ^ n RHS = a ^ (0 + n) = a ^ n = LHS RHS
n = 0 und m ist eine positive oder negative ganze Zahl L.H.S = a ^ m * a ^ 0 = a ^ m * 1 = a ^ m R.H.S = a ^ (m + 0) = a ^ m = L.H.S R.H.S
m = 0 und n = 0 L.H.S = a ^ 0 * a ^ 0 = 1 * 1 = 1 R.H.S = a ^ (0 + 0) = a ^ 0 = 1 L.H.S = R.H.S
Also habe ich versucht, sie ohne 4) und 5) zu beweisen, aber ich couldn.t es zu tun und sich bewegen für eine rationale und reale
2) $ \ dfrac = a ^ $ a ^ m = a.a.a. bis m Faktoren a ^ n = a.a.a. bis n Faktoren m> n a ^ m / a ^ n = (a.a.a. bis m Faktoren) / (a.a.a. bis n-Faktoren) = a.a.a Let. bis (m-n) Faktoren = a ^ (m-n) für m
3) $ (a ^ m) ^ n = a ^ $ erweisen ich dies nur für positive ganze Zahlen (a ^ m) ^ n = a ^ m.a ^ m.a ^ m. bis n factrors = a ^ (m + m + m +. bis n) = a ^ (m * n)
4) $ a ^ 0 = 1 $ Wenn ich 1 bewiesen) für negative ganze Zahlen und 5) m = -na ^ n * a ^ n = a ^ (- n + n) a ^ n / a ^ n = a ^ 0 a ^ 0 = 1
5) $ a ^ = \ dfrac $ Wenn ich 1 bewiesen) für negative ganze Zahlen und 4) m = -na ^ -na ^ n = a ^ (- n + n) a ^ -na ^ n = a ^ 0 = 1 a ^ -n = 1 / a ^ n
Und ich weiß nicht, für rationals und Realen den Rest zu tun, sondern erwies sich als für negative und positive ganze Zahlen 6) $ a ^ = (a ^ p) ^ $
Hier $ a, b, m, n $ real.
Ist es notwendig, dass $ a> 0, b> 0 $?
Sind 4) und 5) Definitionen in Problemen mit Indizes zu tun verwendet?
Obwohl ist es notwendig, über den Satz der realen zu beweisen, was durch einen Begriff wie $ a ^ $ gemeint? Bedeutet das, dass $ a $ $ \ pi $ mal wiederholt wird?
Darüber hinaus, was von $ a ^ $ gemeint ist, wobei $ n $ positive ganze Zahl ist?
Die Definition eines Ausdrucks $ a ^ x $ für reelle Zahlen Base A \ gt $ 0 und Exponent x $ $ $ muss einen Beweis der Gesetze der Exponenten voraus es genügt.
Wir beginnen mit den Eigenschaften realer Arithmetik, insbesondere Multiplikation der positiven reeller Zahlen gibt ein einzigartiges positives reales Produkt, mit echten Multiplikation sowohl assoziativ und kommutativ ist.
Dann wird, wie das Plakat angedeutet hat, bestimmte Gesetze der Exponenten für positive ganze Zahl Exponenten x $ = n $ kann durch Induktion nachgewiesen werden, die rekursive Definition gegeben, das ein ^ $ 1 = A $ und ein $ ^ = a \ cdot a ^ n $.
Die Definition wird dann auf allgemeine ganzzahligen Exponenten ausgefahren $ x \ in \ mathbb $: $ a ^ 0 = 1 $ und ein $ ^ = 1 / a ^ n $. Diese erweiterte Definition beinhaltet Teilung, so beachten Sie, dass wir auf $ a \ gt $ 0 für die spezifische Bedingung setzen, dass ein \ neq $ 0 $, um die Definition gültig zu machen. Das ursprüngliche Plakat sollte beachten, dass Fälle, in denen Exponenten $ x $ eine negative ganze Zahl ist nun als $ 1 / a ^ n $ ausgedrückt, wobei n $ = -x $ eine positive ganze Zahl.
Verschiedene Gesetze der Exponenten werden dann für die allgemeine ganzzahlige Exponenten nachgewiesen werden, die bisherigen Eigenschaften von Exponenten für positive ganze Zahlen mit $ x = n durch Induktion etabliert $.
Die nächste Stufe der Definition der Ausdehnung ist auf rationale Zahlen $ x = m / n $ als Exponenten. Hier ist es sehr wichtig, dass Basis a \ gt $ 0 $ da $ a ^ wird $ als Haupt $ n $ te Wurzel von a $ $ definiert werden, und diese Definition beruht auf der Suche nach einzigartigen $ b \ gt $ 0, so dass $ b ^ n = a $, in Bezug wieder zurück auf den Fall von $ n $ Exponenten, die positiven ganzen Zahlen sind.
Die letzte Erweiterung der Definition ist der Übergang von der rationalen Zahl Exponenten reelle Zahl Exponenten. Diese Erweiterung ist eine Frage Grenzen zu nehmen, und es gibt einen wesentlichen Beweis gestellt werden, dass $ a ^ x $ wohldefinierte von $ \ lim_ a ^ $ für jede Folge von rationaler Zahl $ \ _ ^ \ infty $, so dass $ x = \ lim_ r_k $. Das heißt, müssen wir zeigen, dass sowohl die Grenze existiert und dass wir das gleiche Ergebnis für $ a ^ x $, was Folge von rationalen Zahlen bekommen konvergierenden zu $ x $ verwendet wird.