Non-transitive Würfel
Wir präsentieren eine Reihe von sehr ungewöhnlichen Würfel, und ein Spiel für zwei Spieler, wo Sie immer den Vorteil haben.
Sie können sogar Ihre Gegner beibringen, wie das Spiel funktioniert, aber dennoch wieder gewinnen!
Schließlich werden wir ein neues Spiel für drei Spieler beschreiben, wo Sie möglicherweise beiden Gegner schlagen können - zur gleichen Zeit!
Sehen Sie James Grime und David Spiegelhalter zeigen, nicht-transitive Würfel in dem Video auf der rechten Seite, und lesen, um weitere Informationen nach unten!
Hier ist ein Spiel, das Sie mit einem Freund spielen. Es ist ein Spiel für zwei Spieler, mit einem Satz von drei Würfeln. Diese Würfel sind nicht typisch Würfel jedoch, weil stattdessen die Werte von 1 bis 6, sie verschiedene ungewöhnliche Werte anzuzeigen.
Jeder Spieler wählt einen Würfel. Die beiden Würfel werden dann zusammengerollt und wer auch immer den höchsten Wert gewinnt bekommt. Scheint fair genug noch in einem Spiel von etwa zehn Rollen, werden Sie immer in der Lage sein, einen Würfel mit einer besseren Gewinnchance zu holen - egal welche stirbt Ihr Freund wählt. Und Sie können jetzt diese Würfel zu Hause.
Hier ist der Satz von drei speziellen Würfeln:
Jeder Würfel hat sechs Seiten, aber nur zwei Werte, wie folgt;
A: 3 3 3 3 3 6
B: 2 2 2 5 5 5
C: 1 4 4 4 4 4
Es kann (siehe unten), dass auf lange Sicht sterben A Schlägen sterben B gezeigt werden, und dass die Form B Beats sterben C. So scheint es eine der starke Matrize ist und C die Schwachen sterben. So könnte man erwarten, dass ein Chip C zu schlagen sterben;
Wenn dies der Fall ist, rufen wir den transitive `Würfel‘, weil der Gewinn Transfers über den Chip in der Mitte, sterben B. [1]
Dies ist jedoch nicht der Fall. In der Tat geht die Gewinn Eigenschaft im Kreis - wie ein Spiel von `Rock, Paper, Scissors' - mit klopfendem Form B sterben, B Schlagen sterben C und sterben C schlag sterben A. Es gibt keine starke oder schwache sterben sterben, so die Würfel sind `nicht-transitiv‘. Wie kann das sein?
Nehmen wir ein Beispiel Berechnung tun und zeigen, dass auf lange Sicht, sterben A eine bessere Chance zu schlagen sterben B. hat
Beachten Sie, wenn Sie Walzgesenk A gibt es zwei mögliche Ergebnisse; Sie entweder eine 3 oder eine 6 würfeln Die Wahrscheinlichkeit des Rollens ein 3 5/6, während die Wahrscheinlichkeit, ein 6 Walzen 1/6 ist.
Auf der anderen Seite, sterben B entweder A 2 oder A 5, die jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 rollen kann. Also insgesamt, wenn wir sterben A rollen und sterben B zusammen, haben wir vier mögliche Ergebnisse.
Ich kann ein Baumdiagramm aller möglichen Ergebnisse zeichnen. Sie finden die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses durch die Wahrscheinlichkeiten entlang dem Diagramm zu multiplizieren. Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, ein mit 5 A und einer Matrize 2 mit Düse B Roll 5/6 x 1/2 = 5/12.
Wenn ich die Wahrscheinlichkeit suchen, die A gewinnt sterben füge ich die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, wo eine Schlägen sterben sterben B. So in diesem Fall sterben die Wahrscheinlichkeit, eine Beats B sterben ist 7/12 - wichtig ist, das ist mehr als 02.01.
Mit anderen Worten, kehrt die Kette so der Kreis des Sieges nun einen Kreis der Niederlage wird. Nun sterben A Beats C sterben, sterben C Beats B sterben und sterben B Beats sterben A. So dass Sie das Spiel erneut gewinnen!
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln ist um 57% [4]. Ein Wort der Warnung; Obwohl die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schlag sterben C größer als 1/2 stirbt, ist es ein schlanker Sieg. Auf kurze Sicht, sagen weniger als 20 Rollen, die Wirkung ist näher an 50-50, so dass Sie immer noch etwas Glück auf Ihrer Seite benötigen!
Dieses Mal sind die Würfel Werte verwenden 0 bis 6. Jeder Chip hat Werte:
A: 3 3 3 3 3 3
B: 2 2 2 2 6 6
C: 1 1 1 5 5 5
D: 0 0 4 4 4 4
Nach wie vor bilden die Würfel einen Kreis, wo ein Schlägen sterben sterben B, sterben B Beats C sterben, sterben C Beats D sterben, und D-Beats A sterben sterben, und sie jeweils tun dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3. Efron Dice sind optimal, in dem Sinne, dass die niedrigste Gewinnwahrscheinlichkeit die theoretische obere Grenze erreicht.
Wir haben auch zwei Paare Würfel sie auf dem Kreis gegenüberliegt. Tatsächlich sterben B Beats D sterben, aber sterben A und sterben C jeweils eine 50-50 Chance zu gewinnen, weder sterben dominiert [6].
Aber es ist immer noch die Frage, ob Sie Ihre beiden Gegner in der gleichen Zeit zu schlagen.
Wenn die Würfel regelmäßige Messe Würfel waren, mit zwei konkurrierenden Würfel eine 50-50 Chance auf den Sieg haben (ohne Berücksichtigung Unentschieden), dann ist die Chance des Schlagens zwei Gegner gleichzeitig würde bei knapp über 25% liegen. Es ist nicht genau 25%, da ein Spieler schlagen nicht unabhängig ist, den anderen Spieler zu schlagen - wenn Sie eine hohe Zahl rollen Sie sind wahrscheinlich beide schlagen!
Allerdings sind diese Würfel nicht fair. Auch wenn Sie den Vorteil, gegen beide Gegner haben, ist es, beide Spieler schlagen noch eine Herausforderung, mit der Wahrscheinlichkeit, dies zu tun um 39% stehen.
Dieser Satz von sieben Würfeln ein vollständiges gerichteten Graphen bilden. In gleicher Weise würde ein Vier-Spieler-Spiel 19 Würfel erfordern. Es ist nicht bekannt, ob ein solcher Satz besteht.
Wenn es jedoch möglich ist, eine Reihe von nicht-transitiven Würfeln mit einer Umkehr Eigenschaft zu konstruieren, dann könnte es möglich sein, ein drei-Spieler-Spiel mit weniger als sieben Würfeln zu haben. Und möglicherweise ein solcher Satz könnte unsere Chancen zu schlagen zwei Spieler zur gleichen Zeit verbessern. Ich habe einen solchen Satz unten entwickelt.
Hier ist ein Satz von fünf nicht-transitiven Würfeln:
Diese Würfel verwenden, um Werte von 0 bis 9, wie folgt;
A: 4 4 4 4 4 9
B: 3 3 3 3 8 8
C: 2 2 2 7 7 7
D: 1 1 6 6 6 6
E: 0 5 5 5 5 5
Dieser Satz von fünf Würfeln ist ähnlich wie bei anderen Gruppen von Würfeln haben wir gesehen, dass wir eine Kette, in der A> B> C> D> E> A.
innerhalb dass jedoch haben wir nun eine zweite Kette, wobei A> C> E> B> D> A.
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit für einen Würfel beträgt 63% [10].
Wenn unser ursprünglicher Satz von drei nicht-transitiven Würfeln wie ein Spiel von `war Stein, Papier, Schere, ist dieses Diagramm des Stand näher, aber noch extremer, nicht-transitives Spiel` Rock, Paper, Scissors, Echse, Spock‘ [11].
Mit zwei Würfeln bleibt die erste Kette gleich. Aber die zweite Kette dreht jetzt so A> D> B> E> C> A.
Die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit für zwei Würfel beträgt 59% [12].
Ich werde eine Einschränkung hinzu: obwohl es wünschenswert ist, dass E> A mit zwei Würfeln, die kurzfristig (sagen wir weniger als 20 Rollen) ist der Effekt näher an 50-50, weder sterben dominieren. In allen anderen Fällen Ihre Wahl der Düsen geben Ihnen einen gesunden Vorteil gegenüber Ihren zwei Gegner.
Zum Beispiel wählt, wenn ein Gegner B und die anderen Gegner sterben wählen C sterben, dann sollten Sie einen Pick sterben und die eine Würfel-Version des Spiels spielen. Dann wird gemäß dem ersten Diagramm oben, haben Sie eine bessere Chance, jeden Gegner zu schlagen.
Auf der anderen Seite, wenn ein Gegner wählt sterben C und die anderen Gegner wählen E sterben, dann sollten Sie sterben B und spielen die zwei Würfel-Version des Spiels wählen. Dann wird gemäß dem zweiten Diagramm oben, können Sie erwarten, wieder jeden Gegner zu schlagen.
Ein Glücksspiel
Aber wir können die beiden anderen Spieler zur gleichen Zeit zu schlagen erwarten? Nun, wir haben sicherlich die Chancen verbessert werden, wobei die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, beide Gegner jetzt schlagen stehen rund 44% - 5% Verbesserung gegenüber Oskar Dice, und eine 19% ige Verbesserung gegenüber Fair-Würfel! So [13], wenn die Chancen zu schlagen zwei Spieler nicht mehr als 50% ist dann wie gewinnen wir? Betrachten Sie das folgende Glücksspiel:
Wenn die Würfel Messe waren, dann wird jeder Spieler erwarten Null zu gewinnen - jeder Spieler gewinnt die Hälfte der Zeit und verliert die Hälfte der Zeit.
Doch mit Oskar Dice, sollten Sie erwarten beide Spieler 39% der Zeit zu schlagen, und für beide Spieler 28% der Zeit verlieren, die Ihnen einen Netto-Gewinn von £ 22 geben wird.
Aber noch besser, mit Grime Dice, sollten Sie erwarten beiden Spieler zu schlagen 43,8% der Zeit, aber nur für beiden Spieler 22.7% der Zeit verlieren, Ihnen einen durchschnittlichen Nettogewinn geben näher zu £ 42! (Und möglicherweise der Verlust von zwei ehemaligen Freunden).
Dieser Satz ist der beste Satz von fünf nicht-transitiven Würfeln mit diesen Eigenschaften, die ich gefunden habe.
Zum Beispiel bilden die Würfel A, C und E eine nicht-transitive Teilmenge von drei Würfeln. In der Tat, das ist nur eine Kopie von Rowlett Würfeln mit unterschiedlichen Zahlen. Diese Untergruppe hat auch die Umkehrung Eigenschaft von Rowlett Dice, und der schlanken Sieg in der beide Satzversion von Rowlett Würfeln erklärt die schlanke Niederlage in der beide Satz angezeigt Version von Grime Dice. Diese Teilmenge ist in dem Sinne optimal, dass die niedrigste Gewinnwahrscheinlichkeit seine theoretische Obergrenze, mit einer durchschnittlichen Gewinnwahrscheinlichkeit von 62% erreicht.
Jede Teilmenge von vier Grime Dice macht eine nicht transitiv Kette, mit den Teilmengen A, B, C und E und A, C, D, E sowohl eine durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 aufweist. Allerdings sind diese Untergruppen keine Kopien von Efron Dice und sind nicht optimal, obwohl sie die gleiche durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit als Efron Dice tun haben.
Ich lade Sie ein, sich diese Spiele ausprobieren [14]. Sie sind einfach durch entweder schriftlich auf leere Würfel zu machen, oder ein paar alte Würfel zu ändern. Sie sind auch billig zu kaufen und Sie können den Satz von drei Rowett Dice und den Satz von vier Efron Dice von Grand Illusions zu bekommen.
Probieren Sie sie auf Ihren Freunden und genießen Sie Ihre Erfolge und Misserfolge!
[1] Weitere Beispiele für Transitivität: Wenn a, b und c reelle Zahlen sind dann, wenn a> b und b> c, dann wissen wir, ein> c. Wenn zum Beispiel 9> 4.6 und 4.6> 5/3 dann 9> 5/3.
Wenn a, b und c ganze Zahlen sind, so dass ein stictly b unterteilt (ohne Rest) und b streng teilt c, dann wissen wir, eine streng c teilt. Zum Beispiel, wenn 3 | 15 und 15 | 60 dann 3 | 60.
Die letzten beiden Beziehungen sind transitiv. Auf der anderen Seite, wenn a, b und c ganze Zahlen sind, so daß a + b> 7 und b + c> 7, wir, dass eine nicht ableiten können + c> 7. Diese Beziehung nicht transitiv ist.
[2] Bei Voll die Wahrscheinlichkeiten sind: P (A> B) = 7/12, P (B> C) = 7/12 und P (C> A) = 25/36.
[4] Dieses Mal der vollen Wahrscheinlichkeiten: P (A> C) = 671/1296 (ein schlanker Sieg!), P (C> B) = 85/144, und P (B> A) = 85/144.
[6] Efron Dice: P (A> B) = 2/3, P (B> C) = 2/3, P (C> D) = 2/3, P (D> A) = 2/3, P (A> C) = 1/2 und P (B> D) = 5/9
[7] Die Wahrscheinlichkeiten für die zwei Sätze von Efron Würfeln werden: P (A> D) = 5/9, P (B> A) = 5/9, P (B> C) = 5/9, P (C> D) = 5/9, P (B> D) = 11/27, P (D> B) = 0, P (B = D) = 16/27 (a draw), P (A> C) = 1 / 4, P (C> A) = 1/4, P (A = C) = 1/2. Es gibt keine Kette wie zuvor.
[10] Grime Würfel, ein Würfel Version: P (A> B) = 13/18, P (B> C) = 2/3, P (C> D) = 2/3, P (D> E) = 13/18, P (E> A) = 25/36; P (A> C) = 7/12, P (B> D) = 5/9, P (C> E) = 7/12, P (D> A) = 5/9, P (E> B) = 5/9.
[12] Grime Dice, zwei Würfel Version: P (A> B) = 7/12, P (B> C) = 5/9, P (C> D) = 5/9, P (D> E) = 7/12, P (E> A) = 625/1296 (*); P (A> D) = 56/81, P (B> E) = 56/81, P (C> A) = 85/144, P (D> B) = 16/27, P (E> C) = 85/144.
(*) Dies ist eine schlanke Niederlage! Wenn sie jedoch auf die nächste ganze Zahl gerundet, ist die erwartete Anzahl von Siegen die gleichen wie 50% für etwas weniger als 28 Versuche. Auch 95% der Zeit erwarten wir die Anzahl der Siege plus / minus zwei Standardabweichungen vom Mittelwert zu sein. Wenn wir dies berücksichtigen, ist der Effekt kaum von 50%.
[14] Für die sehr daran interessiert, hier ist ein Set, das versuchen verwendet mathematische Konstanten: A: 1 1 1 1 1 # 960; B: # 934 # 934 # 934 e e e; C: 0 # 966 # 966 # 966 # 966 # 966; wobei e die Eulersche Zahl ist, # 966 ist das Golden Ratio und # 934 ist das Golden Ratio-Konjugat. Sie bilden diese Würfel einen nicht-transitiven Satz? Was ist mit zwei Würfeln, wird in umgekehrter Reihenfolge wie zuvor?