Strategie für quartic Polynomen Kreuzmethode Faktorisierung
Ich fand eine Methode quartic Polynome faktorisieren, die ich nicht verstehen, wie es funktioniert.
Es wird wie folgt dargestellt:
Cross-Methode können diese Methodik Factorize bestellt und 4. Polynome der Form beendet:
- Faktor, der die extremen Bedingungen mit der Kreuzmethode eine squared Begriff zu bekommen (in der Regel unterscheidet sich von der quadratischen Laufzeit des ursprünglichen Polynom).
- $ \ Delta $ aus der Differenz des quadratischen Term des Polynoms und die Laufzeit des ersten Schrittes erhalten, und das Ergebnis in dem ursprünglichen Polynom ersetzen.
- Dann überprüfen Sie die binären Kombinationen als Doppelkreuz Factoring.
Früher habe ich für verschiedene Übungen und es funktioniert, aber ich verstehe nicht die Grundlage für diese Methode.
Kann jemand die Gründe erklären?
- Factoring die Extremen Bedingungen; $ X ^ 4 $ und $ -3 $:
$$ (x ^ 2 + 3) (x ^ 2-1) $$ Das Ergebnis der Kreuzmethode ist $ ^ 3x 2x ^ 2 = 2 x ^ 2 $
Und ersetzte sie im ursprünglichen Polynom:
- Unter Verwendung der Kreuzmethode für die zweite und vierte Term:
Für die zweite Term: $ (x ^ 2 + x) (x ^ 2 + x) sind $ $ 2x ^ 3 $
Für vierten Term: $ (x + 3) (x-1) $ ist 2x $ $
Also, Anordnen der Bedingungen, sind die zwei Faktoren ab:
Ich könnte Mißverständnis, aber dies sieht genauso aus wie verdeckter expandierende $$ (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) \ tag $$ und Vergleichen Koeffizienten.
Nun, was wir wollen, ist $ b $ und $ d $, so dass $ (x ^ 2 + b) (x ^ 2 + d) $ treffer führender und konstanter Faktor zu wählen. Was es beläuft sich auf $ ist $ b $ und $ d zu finden, so dass $ bd = -3 $. Sagen wir, wir hatten Glück und wählten das Siegerpaar $ b = -1, \ d = 3 $
Warum ist das wichtig? Nun, $ (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 2-3 $, so dass wir vermissen einen $ x ^ 2 $: $ \ Delta = 3x ^ 2 - 2 x ^ $ 2.
Wir schreiben einfach $ (x ^ 2 + x-1) (x ^ 2 + x + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3 $ und spüren Sie die Magie überall um uns herum.
Nun lassen Sie uns das gleiche tun, nur transparent:
so müssen wir das folgende System in $ \ Bbb Z $ lösen:
Es gibt zwei Möglichkeiten, entweder $ b = $ 1 und $ d = -3 $ oder $ b = -1 $ und d $ = $ 3. Wir können, dass Ersteres führt zu keiner Lösung sehen, so werden wir verfolgen diese, wird das System:
\ Beginnen, eine + c- = 2 \\ AC- = 1 \\ 3a-c- = 2 \ end
Die erste und das dritte Linearsystem Gleichungsform, der einzigartigen Lösung $ a = c = 1 $ hat, zum Glück, in Übereinstimmung mit der zweiten Gleichung. So wissen wir jetzt sicher, dass $$ (x ^ 2 + x-1) (x ^ 2 + x + 3) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3. $$
Es ist eine berechtigte Frage, warum wir $ (1) $ im ersten Fall in Betracht ziehen würden. Nun versuchen wir, eine quartic über $ \ Bbb Z $ Faktor. dass $ p = fg $ Lassen Sie sich $ p sagen (x) = x ^ 4 + 2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 2x-3 $ und übernimmt. Wir haben, dass $ \ deg p = \ deg f + \ deg g $, so gibt es zwei Fälle: 4 $ = 1 + $ 3 oder $ 4 = 2 + 2 $. Der erste Fall würde bedeuten, dass $ p $ integer Wurzel hat und wir können rationale Wurzel Satz verwenden, die auszuschließen. So einzige Fall, $ 4 = 2 + 2 $ bleibt, die $ auf die Prüfung führt (1) $.
Schließlich, wenn das System $ (2) $ keine Lösungen in $ \ Bbb Z $ hätten, würden wir, dass $ p $ ist nicht reduzierbar über $ \ Bbb Z $ abschließen.
Sind Sie sich bewusst, wie quadratische Gleichungen Faktor? Dies ist nur ein Verfahren für das, angepasst für quartic Gleichungen zu arbeiten. Der Grund, dass dies funktioniert, ist, dass viele (aber nicht alle) quartic Gleichungen in das Produkt von zwei Gleichungen quadratischer Faktor.
Um zu sehen, dass dies nicht immer funktioniert, gilt es p zu $$ (x) = x ^ 4-3x ^ 3 + x ^ 2-2x-3 = (x-3) (x ^ 3 + x + 1) $$ Der zweite Term ist Faktor nicht weiter.
Hier ist eine weniger verwirrende Art und Weise die gleichen Anweisungen zu geben:
- Es sei angenommen, das Polynom, $ f (x) $, Faktoren zu $ (x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) $
- $ Bd $ muss die konstante Laufzeit des ursprünglichen Polynoms geben, so zwei Werte finden, die den konstanten Term geben, multiplizieren und $ g (x) = (x ^ 2 + b) (x ^ 2 + d) = x ^ 4 schreiben + (b + d) x ^ 2 + bd $. In den Rechen Beispiel $ g (x) = (x ^ 2 + 3) (x ^ 2-1) $
- Lassen Sie sich jetzt bei $ f aussehen (x) -g (x) $, der $ 2x ^ 3 + x ^ 2 + 2x $ in Ihrem Beispiel ist. Dies ist ein Grad 3 Polynom ohne konstanten Term und stellt die Teile der Faktoren, die wir noch finden müssen. In unserer Faktorisierung wissen wir, dass der Grad $ 1 $ Begriff von $ (ad + bc) x $ gegeben ist, und wir haben bereits $ B $ und $ d $ gefunden. Ebenso wissen wir, dass der Grad $ 3 $ Begriff von $ (a + c) x ^ 3 $ gegeben. Dies ist ein System von Gleichungen mit zwei Variablen und zwei Unbekannten und so gelöst werden kann. In Ihrem Beispiel sind diese Gleichungen $ -a + 3c = 2 $ und ein $ + c = 2 $ auf.
- Solving gibt die letzten beiden Koeffizienten wir brauchen, und dann setzen zusammen mit dem Original-Stück gibt uns die Faktorisierung. In Ihrem Beispiel der Lösung $ a = c = 1 $ funktioniert. Dies gibt uns $ (x ^ 2 + x + 3) (x ^ 2 + x-1) $