Die Zahlen in verschiedenen Basen, The Oxford Math Center
Wenn wir eine normale (Basis 10) Anzahl, wie 5763 zu schreiben, meinen wir den Wert:
$$ 5000 + 700 + 60 + 3 $$
oder, um es in einer aufschlussreichen Form zu bringen:
$$ 5 \ cdot 10 ^ 3 + 7 \ cdot 10 ^ 2 + 6 \ cdot 10 ^ 1 + 3 \ cdot 10 ^ 0 $$
Beachten Sie, die „Ziffern“ unsere Reihe entsprechen die Koeffizienten auf den Zehnerpotenzen, die addiert werden, um den Wert unserer Nummer zu erhalten.
In ähnlicher Weise können wir Zahlen in anderen „Basen“ angegeben (außer 10), unter Verwendung verschiedener Ziffern, die auf die Koeffizienten auf die Kräfte entsprechen (der gegebenen Base), die addiert werden müssen, um den Wert der Zahl zu erhalten.
$$ 5 \ cdot 8 ^ 3 + 7 \ cdot 8 ^ 2 + 6 \ cdot 8 ^ 1 + 3 \ cdot 8 ^ 0 = 3059 $$
Allgemeine Anzahl der „Basis b“
$$ d_n \ cdot b ^ + d_ \ cdot b ^ + d_ \ cdot b ^ + \ + cdots D_0 \ cdot b ^ 0 $$
Damit jede Zahl eine Basis b Darstellung haben, aber keine Nummer mehr als eine solche Darstellung, müssen wir die Ziffern 0 bis (b-1) in einem bestimmten Basis B Zahl Gebrauch.
Dies steht im Einklang mit der Basis 10 Zahlen, wo wir Ziffern verwenden 0-9.
Für kleinere Basen verwenden wir einen Teil dieser Stellen. Zum Beispiel in der Basis 5, verwenden wir nur Ziffern 0-4; in der Basis 2 (die auch binäre genannt wird), verwenden wir nur die Ziffern 0 und 1.
$$ 5AF8 = 5 \ cdot 16 ^ 3 + 10 \ cdot 16 ^ 2 + 15 \ cdot 16 ^ 1 + 8 \ cdot 16 ^ 0 = 23288 $$
Der Wechsel von der Basis 10 zu einer anderen Basis
Ein (geradlinig, aber ineffizient) Art und Weise von der Basis 10 zu einer anderen Basis zu konvertieren ist:
- Bestimmen Sie die higest Leistung der Basis, die eine von Null verschiedene Anzahl von Malen in die Zahl hinausgeht.
- Bestimmen, wie viele Male diese Leistung von der Zahl ohne das Ergebnis negativ subtrahiert werden (d.h, teilt die Anzahl von der Leistung). Notieren Sie sich diese Ziffer nach unten.
- Definieren Sie die Anzahl dieser kleinste positive Rest bei Teilung in Frage durch die Kraft zu sein
- Neudefinieren die Kraft, die Leistung, die von der Basis geteilt werden.
- Gehen Sie zurück zu Schritt 2, es sei denn, die Macht jetzt weniger als ein - in diesem Fall, Sie fertig sind.
Zum Beispiel 5 1073 zur Basis zu konvertieren, wie wir uns erinnern, dass:
Dann bemerken wir, dass 5 4 = 625 die höchste Leistung von 5 unter 1073 ist.
Die roten Ziffern, offenbaren 13243. der Basis 5 Darstellung 1073.
Dieser Prozess ist jedoch ineffizient, daß man muss beide kennen und die verschiedenen Kräfte der gewünschten Base verwenden.
Es ist eine einfachere Art und Weise!
Betrachten wir die Reste bei Division der folgenden Nummern gesehen von 5:
Hinweis: Die Basis-5-Darstellung kommt aus abliest den Resten (in rot) von unten nach oben!
In jedem Schritt oben, wir sind Dividieren nur um 5 und betrachten sowohl den Quotienten und den Rest - keine Kenntnis von höheren Potenzen von 5 ist erforderlich!
Herrlich, funktioniert diese Technik in jeder Basis. (Kannst du erklären warum? )
So zum Beispiel, wenn wir die binären (Basis 2) Darstellung von 1000 finden wollte, berechnen wir einfach die folgenden:
So 1000 in binär 1111101000
Zählen in einer anderen Basis
in anderen Basen Zählen nicht zu verschieden von in der Basis 10 zu zählen, die Ähnlichkeiten sehen sich auf 41 in der Basis 10 zählen und die Basis 3 (wie in der Tabelle unten gezeigt).
Achten Sie besonders auf, wie „2“ in der Basis 3 spielt die gleiche Rolle wie „9“ in der Basis 10. Es die letzte Ziffer stellt Sie vor der Erhöhung die Ziffer, die unmittelbar links verwenden kann.
Zugabe in einer anderen Basis
Sie können in einer anderen Basis (10 ohne Umwandlung zu stützen) hinzufügen, solange Sie daran denken, dass Sie „tragen“, wenn Sie eine Summe haben, die größer als oder gleich Ihre Basis ist (anstelle von größer oder gleich 10), und dass was Sie „tragen“ ist die Anzahl, wie oft Sie die Basis aus Ihrer Summe herausziehen kann.
Lassen Sie sich durch das Beispiel gehen. Beachte das
So schreiben wir eine 1 in der „Einheiten“ Spalte nach unten und führen einen 1. Dann
So schreiben wir eine 5 in der „Zehner / sixteens“ Spalte nach unten und führen einen 1. Dann
So schreiben wir eine C in der nächsten Spalte nach unten und führen einen 1. Dann
So schreiben wir ein 9 in der nächsten Spalte nach unten und führen einen 1. Dann
So schreiben wir ein B in der nächsten Spalte nach unten, und wir sind fertig.
Verknüpfung zum Wechseln zwischen der Basis 2 und der Basis 16
den Prozess umzukehren ist genauso einfach.
Angenommen, wir wollen FC7 (hex) in binärer Form konvertieren. Beachten Sie, dass