Lösen quadratics durch Factoring und den Platz abschließen - Sie liebt Mathe
Dieser Abschnitt umfasst:
Beachten Sie, dass die Differenz der Würfel Factoring und erweiterte Factoring, einschließlich Factoring mit Exponents hier in den Rational Ausdrücke und Funktionen Abschnitt gefunden werden kann, und Lösen von Abschnitt Factoring.
Auch hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, quadratics zu lösen, oder die Lösung eine quadratische Gleichung (auch als x -intercepts, Wurzeln, Nullen oder Werte bekannt) zu finden. (Denken Sie daran, dass wir quadratische Gleichungen am einfachsten, indem sie alles auf einer Seite des Gleichheitszeichen bekommen, lösen, die die quadratische auf 0 setzt).
Im quadratics Abschnitt haben wir gelernt, zwei Möglichkeiten quadratics zu lösen:
In diesem Abschnitt werden wir über zwei weitere Möglichkeiten sprechen:
- Factoring und Einstellung Faktoren auf 0 (es gibt viele Möglichkeiten zu Faktor, aber nicht alles kann berücksichtigt werden)
- Die Komponenten auf den Platz und nimmt die Quadratwurzel von jeder Seite (eine Art und Weise, wo wir nicht den quadratischen auf 0 gesetzt haben!)
Beachten Sie, dass es mehr Informationen in der Solving auf Factoring von hier Abschnitt Factoring.
Wir werden auch andere grundlegende Polynom Faktorisierungsmethoden lernen, wie der größte gemeinsame Faktoren herausnehmen (GCF) von Polynomen und Factoring die Differenz von zwei Quadraten und Factoring Quadrat trinomials.
Denken Sie an Factoring als nur „Auseinanderziehen“ Dinge, die miteinander multipliziert werden. Es ist das gleiche Prinzip von 35 Factoring und bekommen 5 und 7. Wenn wir in der Algebra Faktor, tun wir das Gleiche, aber mit Variablen.
HINWEIS: Denken Sie daran, dass, wenn wir berücksichtigen, wir jeden Faktor mit einer Variablen in es auf 0, und lösen für die Variable festlegen möchten, die Wurzeln zu bekommen. Dies liegt daran, jeder Faktor, der 0 macht den gesamten Ausdruck zu 0. (Dies ist die Null Produkteigenschaft. Wenn ab = 0, als a = 0 und / oder b = 0).
Beachten Sie, dass nicht jeder quadratische berücksichtigt werden; wenn es nicht kann, werden wir eine der anderen Methoden verwenden.
Aber lassen Sie uns die Factoring-Techniken erlernen, damit wir die quadratics lösen können, die berücksichtigt werden können; es ist eine ziemlich einfache Art und Weise, sie zu lösen. Und später, wenn wir lernen, wie man in der Visualisierungs- und Lösen von Polynomfunktionen Abschnitt allgemeineren Polynome zu lösen, werden wir wissen, wie Faktor!
Der Abschluss der größte gemeinsame Faktor (GCF)
Also lassen Sie uns zuerst mit Polynomen beginnen, die einige einfache Factoring brauchen. Wir müssen immer die GCF ziehen (größten Koeffizienten / Variablen, die die alle Begriffe gehen in) aus. (Wir haben gelernt, über die GCF mit regelmäßigen Zahlen im multiplizieren und dividieren Abschnitt hier.)
Denken Sie daran, von den Exponenten und Radikalen in Algebra Abschnitt, den wir Exponenten hinzufügen, wenn wir mit der gleichen Basis multiplizieren und Exponenten subtrahieren, wenn wir mit der gleichen Basis teilen.
Hier sind einige Beispiele von Polynomen Factoring durch die GCF herausnehmen:
Sehen Sie, wie es die distributive Eigenschaft Umkehr? Es heißt „undistributing“. Und es ist immer eine gute Idee, sich zu vermehren wieder Ihre Antworten zu überprüfen!
Aliquotierung Trinome (quadratics)
Wenn wir quadratics Faktor, versuchen wir zu „unfoil“ zwei Binomen zu bekommen. Auch hier, denken Sie daran, dass, wenn trinomials Factoring, müssen wir nehmen immer an erster Stelle die jede GCF!
Hier sind einige Methoden, die wir verwenden:
Ratet mal, und prüfen
„Ich denke, und Check“ ist genau das, was es klingt; Wir haben bestimmte Regeln, aber wir versuchen, Kombinationen zu sehen, was funktioniert.
Beginnen wir mit einem Beispiel beginnen; Lassen Sie uns „UNFOIL“ oder Faktor eines der ersten Beispiele, die wir mit in quadratics gearbeitet. Hier ist, wie wir FOIL'ed, und wie wir „UNFOIL“:
Also, wenn wir diese Trinomialprozess zu lösen, würden wir die Faktoren gleich Null gesetzt:
Beachten Sie die Zeichen, wenn Sie „unfoil“; multiplizieren diese zurück, um sicherzustellen, sie funktionieren:
Manchmal ist es einfacher und mehr visuelle, wenn Sie ein „X“ verwenden, wenn Sie beginnen, diese zu berücksichtigen; wir werden diese zuerst zeigen, wenn es keine Zahlen (Koeffizienten) vor dem x 2 Begriff sind. Wir können die Koeffizienten des mittelfristig auf der Oberseite setzen, der konstante Term (keine Variable) auf dem Boden, und dann die beiden Seiten nutzen zwei Zahlen zu finden miteinander multipliziert, um den Boden zu gleichen. aber addiert, um die Spitze zu entsprechen.
Lassen Sie uns noch einen Versuch, die ein wenig komplizierter ist.
Beachten Sie wieder, dass der Factoring leichter zu machen, wollen wir immer die GCF aus dem Polynom, bevor wir „unfoil“ Faktor.
Spezielle Produkte von Binomen - Leicht einkalkuliert
Es gibt zwei spezielle Fälle, in denen Sie eine Verknüpfung verwenden können, die trinomials Faktor: Differenz von zwei Quadraten und perfekten Platz Trinome. Wir sahen diese in der Einleitung zu Polynomials Abschnitt in der Tabelle hier.
Hier sind die beiden Fälle und wie sie Faktor:
Gruppierungsverfahren oder „AC“ Method
Wir werden die Trinomialprozess in eine quadratisch mit vier Begriffen drehen zu können, die Gruppierung zu tun. Dann müssen wir ein Muster von Binomen finden, damit wir die distributive Eigenschaft verwenden, können sie zusammen zu stellen (wie ein Puzzle!).
Lassen Sie uns, wie oben auf dem gleichen Problem suchen (mit der 2 bereits herausgerechnet, aber lassen Sie uns die y halten ‚s am Ende):
Lassen Sie sich unsere „X“ wieder verwendet die von den Gruppierungsverfahren lösen zu helfen.
Wir können die mittlere Laufzeit des Koeffizienten gesetzt (-11) auf dem oberen Teil des „X“, aber diesmal multiplizieren wir die ersten und letzten Koeffizienten (4 x 7 = 28) und legte sie auf unteren Teil eines „X“. Denken Sie daran, dass das Zeichen eines Begriffs, bevor er kommt. und achten Sie auf Zeichen.
So, da wir fanden, dass -4 und -7 „Arbeit“, können wir die Trinomialprozess umschreiben und die mittlere Laufzeit trennen, so können wir einige Gruppierung und Faktor mit dem Gruppierungsverfahren tun:
Gruppierungsverfahren mit vier Termen
Hier sind einige Beispiele für die Gruppierung Methode, wenn wir mit 4 Begriffe beginnen. Beachten Sie, dass der erste, der ein 4-Term quadratisch ist, und das zweite ist ein kubisches Polynom, das mit der Differenz der Quadrate umfasst faktorisieren.
Beachten Sie, dass vier Begriffe Faktor nicht immer mit dem Gruppierungsverfahren arbeitet oben; manchmal müssen wir die Unterschiede der Quadrate aussehen (manchmal mit dem Gruppierungsverfahren kombiniert):
Die Box-Methode
Eine weitere Methode, die immer beliebter wird ist das „Feld“ Methode aufgerufen. Dies ist eine modifizierte „ac“ Methode, aber wir verwenden größte gemeinsame Faktoren (GCF) uns Faktor zu helfen.
Wir haben das erste Glied in der oberen linken Ecke, das letzte Glied in der unteren rechten Ecke, und wir teilen das Mittelglied in den verbleibenden zwei Ecken, so dass sie auf mittlere Sicht addieren. und sind Faktoren des ersten Terms mal der letzte Term (also die „ac“ -Methode). Sie können die Mittelglieder (oben rechts und unten links Ecken) in beliebiger Reihenfolge, aber stellen Sie sicher, dass die Zeichen korrekt sind, so dass sie auf mittlere Sicht addieren.
Wenn Sie das Feld richtig eingerichtet haben, sollten die Diagonalen auf das gleiche Produkt multiplizieren.
Dann erhalten wir die GCFS über die Spalten und unten die Zeilen, die samesign der nächsten Box mit (Boxen entweder auf der linken oder oberen Rand).
Hinweis. wenn wir die Box-Methode zu tun, müssen wir die x 2 stellen Sie sicher, einen positiven Koeffizienten aufweist; sonst müssen wir über alle drei Begriffe die negativen out nehmen, das Factoring zu tun, und dann in der Vorderseite der faktorisierter Antwort die negativen setzen.
Die „ac“ Methode ohne Gruppieren
Was wollen wir für die Quadratwurzel-Methode tun, ist ein Quadrat aus der Seite mit den Variablen zu machen, und die Zahlen (Konstanten) auf die anderen Seite zu bewegen, so dass wir die Quadratwurzel von beiden Seiten nehmen. Dann müssen wir die quadratische Gleichung nicht verwenden, oder „unfoil“ zu lösen.
Lassen Sie uns zuerst darüber nachdenken, was passiert, wenn wir eine binomische Quadrat an, indem Sie:
(Wir sahen zuerst diesen perfekten Platz trinomials in Introduction To Polynomials.)
Da wir das Produkt der Mittelglieder zweimal hinzuzufügen, haben wir zweimal das Produkt der ersten (x) und zweite (3) Bedingungen in der Mitte (bis 6x zu erhalten). Siehe auch, wie wir auf den Platz des zweiten Terms haben (3) am Ende (9).
Also das Quadrat eines Trinomialprozess zu vervollständigen, das kein perfektes Quadrat ist, müssen wir die zweite Amtszeit halbieren und den Platz davon nehmen - und dann diese Zahl hinzufügen, damit der Platz vollständig sein kann. Dann müssen wir sicherstellen, dass die gleiche Sache auf die andere Seite hinzuzufügen.
Dann nehmen wir die Quadratwurzel von jeder Seite. denken Sie daran, dass wir die Plus und Minus der rechten Seite aufnehmen müssen, da per Definition die Quadratwurzel nur die positiv ist. Eine weitere Möglichkeit, daran zu denken ist der absolute Wert der linken Seite auf die rechte Seite entspricht. so müssen wir die Plus und Minus der rechten Seite sind.
Hier ist eine, die ein wenig schwieriger ist, weil der Rest, in dem Koeffizienten von x.
Quadratische Ergänzung zu bekommen Vertex-Formular
Wenn Sie die x -intercepts (Wurzeln) gegeben sind, können Sie in faktorisierter Form setzen es auch. und verwenden Sie einen anderen Punkt (nicht eine der Wurzeln), um die „a“ ein Teil der Gleichung zu finden. Denken Sie daran, dass die „a“ in allen drei Formen (Standard, berücksichtigt, und Vertex) werden die gleichen sein.
Hier sind einige Beispiele:
Hier ist eine andere Art von Problem, das Sie sehen können, wo Sie eine quadratische Funktion schreiben gegeben parabelSymmetrieAchse des und zwei Nicht-Vertex-Punkte. Beachten Sie, dass wir ein System von Gleichungen verwenden:
Also noch einmal, hier sind verschiedene Formen von quadratics und auch die Methoden zur Wurzeln quadratics zu finden.
Hinweis. Manchmal werden wir haben eine Quadratic in „fast“ Vertex-Form und spielen, um mit ihm in Vertex-Form zu erhalten. Zum Beispiel, wenn wir \ (y = -8x + 2> \ rechts)> ^> + 3 \) und will es Vertex Form zu ändern, können wir die Koeffizienten von x nehmen und etwas Algebra tun: \ (y = -8x + 2> \ rechts)> ^> + 3 = -8> \ rechts) \ left (\ rechts)> \ rechts)> ^> + 3 \) \ (= - 8> \ rechts)> ^> \ right)> ^> + 3 = -2 \ rechts)> ^> + 3 \), so dass der Scheitelpunkt ist (-4, 3).
Lernen Sie diese Regeln, und üben, üben, üben!
Zur Übung. Verwenden Sie das Mathway Widget unten, um ein Factoring Problem zu versuchen. Klicken Sie auf Senden (den blauen Pfeil nach rechts des Problems) und klicken Sie auf Faktor die Antwort zu sehen.
Sie können auch Ihr eigenes Problem, oder klicken Sie auf die drei Punkte in der oberen rechten Ecke tippen und klicken Sie auf „Beispiele“ thema aufschlüsseln.
Wenn Sie auf Tippen Sie auf Schritte anzuzeigen. oder klicken Sie hier. Sie können eine kostenlose Testversion an Mathway registrieren. und dann ein Upgrade auf ein bezahltes Abonnement jederzeit (um jede Art von mathematischem Problem ist gelöst!).
Auf Quadratic Ungleichungen - Sie sind bereit!
19 Gedanken zu „Solving quadratics durch Factoring und Fertigstellen des Square“
Hallo!
Vielen Dank für Ihre Fragen und hofft, das hilft. Der x Begriff „verschwindet“, denn wenn man zu vereiteln ist (mehrfach) es wieder aus, es dort sein würde. So zum Beispiel (x + 1) ^ 2 haben nicht wirklich ein x Begriff, aber x ^ 2 + 2x + 1 der Fall ist. Also, wenn Sie die auf den binomischen squared hinzufügen (wie (x + 1) ^ 2), die Größe x drin ist - aber man es nicht sehen.
vielen Dank Faktorisierung von Square-Verfahren abgeschlossen mir getan