Factoring quadratics Die Hard Case
Um Faktor eine „harte“ quadratisch, müssen wir alle drei Koeffizienten behandeln, nicht nur die beiden, die wir in der „easy“ Fall behandelt, weil der führende Koeffizient (die Zahl auf der x 2 Begriff) ist nicht 1. Der erste Schritt in Factoring wird zu multiplizieren „a“ und „c“; dann müssen wir Faktoren des Produkts „ac“, die auf „b“ summieren sich zu finden.
Mit Blick auf diese quadratisch, habe ich a = 2. b = 1 und c = -6. so ac = (2) (- 6) = -12. Also ich brauche Faktoren von -12 zu finden, die auf +1 addieren. Die Paare von Faktoren für 12 1 und 12 2 und 6 sowie 3 und 4. Da -12 negativ ist, muß ich einen Faktor positiv und die anderen negativ ist (weil positve mal negativ ist negativ). Das bedeutet, dass ich das Paar „3 und 4“ verwenden will, und ich werde die 3 als negativ, weil -3 + 4 = +1 will. Nun, da ich meine Faktoren gefunden habe, werde ich nutzen, was meine Schüler beziehen als „Box“: Ich werde ein zwei mal zwei Gitter ziehen, das erste Glied in der oberen linken Ecke setzen und das letzte Glied in den unteren rechten Ecke, wie folgt aus:
Dann werde ich meine Faktoren nehmen -3 und 4 und legte sie, komplett mit ihren Zeichen und Variablen in den diagonalen Ecken, wie folgt aus:
Dann werde ich die Zeilen und Spalten wie dieser Faktor:
von der oberen Reihe
(Anmerkung: Die Zeichen für die unteren Reihe Eintrag und der rechten Spalte Eintrag stammen aus dem engsten Begriff, von dem Sie Factoring Vergessen Sie nicht, Ihre Zeichen.!)
Nun, da ich die Box einkalkuliert habe, kann ich meine Antwort aus ganz oben und entlang der linken Seite abzulesen:
Wenn Sie Ihren Text oder Lehrer Faktoren „durch die Gruppierung“, werden Sie feststellen, dass es sehr leicht ist, Fehler mit den Zeichen zu machen. diese Methode verwenden, werden Sie noch die Zahlen finden müssen, die auf den Koeffizienten in der Mitte (die „3 und 4“ in dem obigen Beispiel) hinzufügen, aber Ihre Schritte würde wie folgt aussehen:
Sie würden die gleiche Antwort zu bekommen, aber meine Schüler haben immer „Box“ gefunden einfacher und zuverlässiger zu sein, vor allem in Fällen wie die oben in dem Sie versuchen, sind mit Spur von „minus“ Zeichen zu halten. Nach meiner Erfahrung, Studenten mit „durch die Gruppierung“ in der Gewohnheit in der Mitte das Zeichen fallen ( „ist es nicht immer ein‚Plus‘Zeichen?“) Und in der Regel vergessen, das „Minus“ der zweiten abzumelden Faktor „Gruppe“ richtig. (In diesem Beispiel würde der Student entweder Faktoren von "x + 2" bekommen und "x - 2" und steckte geblieben, sonst hat einkalkuliert würde als "(x + 2) (2x + 3)" So oder so. , hätte er die falsche Antwort bekommen haben.) Es ist diese ständige Verwirrung war, die mich von Factoring zu wechseln „durch die Gruppierung“ zu verwenden „Box“. Meine Schüler besser nur mit „Box“, aber Sie sollten verwenden, was am besten für Sie.
Die Koeffizienten sind a = 4 b = -19. und c = 12 so ac = 48. Da 48 positiv ist, muss ich zwei Faktoren, die entweder beide positiv oder auch sowohl negative (positive Zeiten positiv ist positiv und negativ mal negativ ist positiv). Da -19 negativ ist, muss ich die Faktoren, beide negativ. Die Paare von Faktoren für 48 1 und 48 2 und 24 3 und 16 4 und 12 und 6 und 8. Da -3 + (-16) = -19. Ich verwende -3 und -16.
Ich habe ein = 5. b = -10. und c = 6. so ac = +30. Da ac positiv ist und b negativ ist, muss ich zwei Faktoren finden, die beide negativ sind und die auf -10 addieren. Aber die Paare von Faktoren sind für 30 1 und 30 2 und 15 3 und 10 und 5 und 6. Keine dieser Paare fügt 10.
Dann wird diese quadratische sagte „unfactorable über die ganzen Zahlen“ zu sein (weil ich nicht ganzzahlige Faktoren gefunden, die funktioniert), oder es könnte „prime“ bezeichnet werden. Die spezifische Terminologie Sie verwenden sollten, wird wahrscheinlich auf Ihren Text ab. Im Zweifelsfall fragen Sie Ihren Lehrer, was Terminologie sollte man auf unfactorable quadratics beziehen verwenden.
Das folgende Beispiel verdeutlicht die Tatsache, dass „box“ funktioniert nur, wenn Sie zuerst alle gemeinsamen Faktoren entfernt haben.
Wenn ich nicht zuerst Sie den gemeinsamen Faktor „2“ herausnehmen, werde ich die Faktoren von 2 x (-16) = -32 finden, die bis -4 hinzufügen. welche -8 und +4. „Box“ zu tun, ich dann bekommen:
(2x + 4) - Mit anderen Worten, würde ich als (8 2 x) berücksichtigt. Aber wenn ich diese multiplizieren wieder aus, werde ich 4 x 2 für die Leitterm erhalten, anstelle von 2 x 2. Durch die nicht aus zunächst, dass gemeinsamen Faktor nehmen, ich werde es geschaffen haben, „extra“ Faktoren in „Box“ zu erhalten ; Insbesondere werde ich die falsche Antwort bekommen. Dinge zu tun, richtig:
Erstens, ich brauche den gemeinsamen Faktor 2 von jedem Begriff zu entfernen, zu erhalten 2x 2 - 4x - 16 = 2 (x 2 - 2x - 8). Dann brauche ich die verbleibende quadratischen Faktor: x 2 - 2x - 8 = (x - 4) (x + 2). Ich muß vorsichtig sein, nicht th e einkalkuliert-out „2“ zu vergessen, wenn ich meine endgültige Antwort aufschreiben: